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•
Die
grundierte Extension
von (
A
,
→
) ist der kleinste Fixpunkt
F
lfp
von
F
,
d.h.
F
lfp
=
F
n
(
die kleinste Zahl ist, fur die
F
n
(
)=
F
n+1
(
∅
), wobei n
∈ N
∅
∅
)
gilt.
•
Eine Menge
S⊆A
ist eine
stabile Extension
,wenn
S
konfliktfrei ist und jedes
S
+
=
Argument in
A\S
angreift, d.h.
A\S
.
Wahrend es fur jedes Argumentationssystem eine grundierte Extension gibt
und diese sogar eindeutig ist, muss es nicht immer eine stabile Extension geben.
Beispiel 10.72 (grundierte und stabile Extensionen)
Sei (A,→) wie in Bei-
spiel 10.56 und Abbildung 10.8 (s. auch Beispiel 10.66). Dann gelten die folgenden
Beobachtungen:
•
Da
F
(
∅
)=
{
D
}
und
F
(D)=
{
D
}
,ist
{
D
}
der kleinste Fixpunkt von
F
und
damit grundierte Extension von (
A
,
→
).
•
Die Menge
S
=
{
E, H, B
}
greift zwar alle Elemente der Menge
{
F, G, A, C
}
an,
aber es gilt nicht
S
→
D.Daherist
S
keine stabile Extension, da D
∈S
.
•
Da die konfliktfreie Menge
S
=
{
B, D, H
}
alle Elemente der Menge
{
A, F, C, E, G
}
=
A\S
angreift, ist
{
B, D, H
}
eine stabile Extension von
(
A
,
→
).
Proposition 10.73 (stabile Extension)
Sei
(
A
,
→
)
ein abstraktes Argumenta-
A\S
+
.
tionssystem und
S⊆A
.
S
ist eine stabile Extension gdw.
S
=
Beweis:
Wir nehmen zunachst an, dass
S
eine stabile Extension ist. Fur
S
1
=
A\S
+
=
{
A
∈A|S
→
A
}
mussen wir
S
=
S
1
zeigen. Wegen der Stabilitat von
S
gilt
S
1
⊆S
.Fur A
∈S
1
gilt
S
→
A und damit wegen der Konfliktfreiheit von
S
auch A
S
1
.
Fur die Gegenrichtung nehmen wir an, dass
∈S
;daherist
S⊆S
1
und somit
S
=
A\S
+
=
S
eine Menge mit
S
=
{
A
∈A|S
→
A
}
ist. Damit ist
S
konfliktfrei, und da aus A
∈S
die Beziehung
S
→
A folgt, ist
S
eine stabile Extension.
Selbsttestaufgabe 10.74 (Extensionen)
Bestimmen Sie zu (
)ausBei-
spiel 10.57 alle zulassigen, bevorzugten, grundierten, vollstandigen und stabilen Ex-
tensionen.
A
tina
,
→
Die Klassen von Extensionen desselben Typs werden als
Semantik
eines ab-
strakten Argumentationssystems
aufgefasst, d.h., die zulassigen Extensionen
bilden die zulassige Semantik, die bevorzugten Extensionen bilden die bevorzugte
Semantik usw. Wir fuhren fur diese Klassen formale Abkurzungen ein:
Adm
(
AF
AF
)
Menge der zulassigen Extensionen von
AF
Pref
(
AF
)
Menge der bevorzugten Extensionen von
AF
Comp
(
AF
)
Menge der vollstandigen Extensionen von
AF
Stab
(
AF
)
Menge der stabilen Extensionen von
AF
Da es immer genau eine grundierte Extension gibt, bestimmt diese die grundierte
Semantik. Beachten Sie, dass die stabile Semantik leer sein kann. Das folgende
Theorem setzt die verschiedenen Semantiken zueinander in Beziehung:
