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Beispiel 10.66 (Extension)
Sei (
A
,
→
) wie in Beispiel 10.56 und Abbildung 10.8.
1. Da
F
(
{
A, C
}
)=
{
A, C, D
}
und somit
{
A, C
}⊆
F
(
{
A, C
}
), ist
{
A, C
}
eine
zulassige Extension.
2. Da
F
(
{
A, C, D
}
)=
{
A, C, D, F
}
und somit
{
A, C, D
}⊆
F
(
{
A, C, D
}
), ist auch
{
A, C, D
}
eine zulassige Extension.
3. Wegen
F
(
{
A, C, D, F
}
)=
{
A, C, D, F
}
ist
{
A, C, D, F
}
eine vollstandige Ex-
tension.
4. Ebenso ist
S
=
{
A, C, D, F, G
}
wegen
F
(
{
A, C, D, F, G
}
)=
{
A, C, D, F, G
}
eine
zulassige Extension. Die Menge
ist auch maximal unter den zulassigen Exten-
sionen, weil wegen der Konfliktfreiheit keines der ubrigen Argumente B, E, H
zusatzlich dazu gehoren darf. Daher ist
S
S
eine bevorzugte Extension. Wegen
S
=
F
(
S
)ist
S
außerdem auch eine vollstandige Extension.
Beispiel 10.67 (Nixon)
Wenn A fur die Aussage
“Nixon ist kein Pazifist, da er
Republikaner ist”
und B fur die Aussage
“Nixon ist Pazifist, da er Quaker ist”
steht, konnen wir die Situation aus Beispiel 10.35 wie folgt in einem abstrakten
Argumentationssystem (
A
,
→
) darstellen:
A
}
A→ B, B → A.
=
{
A, B
A
B
Die folgende Tabelle gibt fur alle Teilmengen
an, ob es sich dabei um eine
konfliktfreie Menge handelt und ob eine zulassige, vollstandige oder bevorzugte
Extension vorliegt:
S
S⊆A
F
(
{S}
)
konfliktfrei
zulassig
vollstandig
bevorzugt
∅
∅
×
×
×
-
{
A
}
{
A
}
×
×
×
×
{
B
}
{
B
}
×
×
×
×
{
A, B
}{
A, B
}
-
-
-
-
Hier gibt es also zwei bevorzugte Extensionen, namlich
{
A
}
und
{
B
}
, und mit
∅
,
{
A
}
und
{
B
}
drei vollstandige Extensionen.
In Beispiel 10.66 konnte die Extension
F
({A, C})zu
F
({A, C, D}) erweitert
werden. Die folgende Proposition liefert ein wichtiges Kriterium fur die Erweiterung
von zulassigen Extensionen.
Proposition 10.68 (Erweiterung von Extensionen)
Seien
(
A
,
→
)
ein ab-
eine zulassige Extension und
A, A
straktes Argumentationssystem,
S
Argumente,
die von
S
verteidigt werden. Dann gelten:
S
=
1.
S∪{
A
}
ist zulassig.
2.
A
wird von
S
verteidigt.
Beweis:
Da
S
konfliktfrei ist, kann die Konfliktfreiheit von
S∪{
A
}
nur durch ein
B
∈S
mit B
→
A oder mit A
→
B verhindert werden:
