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Definition 10.62 (Verteidigung)
Sei (
A
,
→
) ein abstraktes Argumentationssys-
tem und sei
S⊆A
.
S
verteidigt ein Element
A
∈A
gdw. jedes Element B
∈A
,
das A angreift, von
S
angegriffen wird.
den Knoten F ,dervon
B und E angegriffen wird, denn C greift B und D greift E an. Die leere Menge
verteidigt offensichtlich genau alle die Argumente, die uberhaupt nicht angegriffen
werden; in Beispiel 10.56 verteidigt
In Beispiel 10.56 verteidigt die Menge
S
=
{
C, D
}
also den Knoten D.
Der Begriff der Verteidigung liefert die Grundlage fur die Definition der cha-
rakteristischen Eigenschaften der Akzeptabilitat von Argumenten, die mit Hilfe der
charakteristischen Funktion eines Argumentationssystems formalisiert werden konn-
nen.
∅
Definition 10.63 (charakteristische Funktion)
Die
charakteristische Funkti-
on
F
eines abstrakten Argumentationssystems (
A
,
→
) ist definiert durch:
F
:2
A
→
2
A
F
(
S
)=
{
A
∈A|S
verteidigt A
}
Offensichtlich ist
F
eine monotone Funktion, denn aus
S
1
⊆S
2
folgt
F
(
S
1
)
⊆
F
(
S
2
). Allerdings gilt nicht notwendigerweise
S⊆
F
(
S
), in Beispiel 10.56 ist z.B.
F
(
{
A
}
)=
{
D
}
.
Selbsttestaufgabe 10.64 (charakteristische Funktion)
Bestimmen
Sie
zu
(
,die
sich aus der leeren Menge durch sukzessive Hinzunahme der Elemente A, C, D, F, G
(in dieser Reihenfolge) ergeben.
A
,
→
) aus Beispiel 10.56 die Menge
F
(
S
)fur
S
=
∅
und fur die funf Mengen
S
10.3.2
Extensionen
Extensionen als Mengen von akzeptablen Argumenten sind von zentraler Bedeutung
fur abstrakte Argumentationssysteme. Mit Hilfe der charakteristischen Funktion
lassen sich unterschiedliche Typen von Extensionen definieren.
Definition 10.65 (Extension)
Sei (
A
,
→
) ein abstraktes Argumentationssystem
und
S⊆A
eine konfliktfreie Menge von Argumenten.
•S
ist eine
zulassige Extension
,wenn
S
jedes Element in
S
verteidigt, d.h.,
wenn
S⊆
F
(
S
) gilt.
•S
eine zulassige Extension ist und zudem
bzgl. Mengeninklusion maximal ist, d.h., wenn fur jede zulassige Extension S
mit
ist eine
bevorzugte Extension
,wenn
S
S⊆S
auch
S
gilt.
S
=
•S
ist eine
vollstandige Extension
,wenn
S
eine zulassige Extension ist und jedes
Element, das von
S
verteidigt wird, auch zu
S
gehort, d.h., wenn
S
=
F
(
S
)
gilt.
