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Uberblick verschafft hier [222].
Um diese Vielzahl verschiedenartiger Ansatze miteinander vergleichen und ihre
Qualitat beurteilen zu konnen, bedarf es
formaler Kriterien
ahnlich denen, die man
in der klassischen Logik kennt.
Die deduktive Folgerungsoperation
Cn
der klassischen Logik erfullt drei zen-
trale Bedingungen, wobei
A
,
B⊆
Form
Mengen von Formeln sind:
•
Inklusion
bzw.
Reflexivitat
:
A⊆
Cn
(
A
);
•
Schnitteigenschaft
:
A⊆B⊆
Cn
(
A
) impliziert
Cn
(
B
)
⊆
Cn
(
A
);
•
Monotonie
:
A⊆B
impliziert
Cn
(
A
)
⊆
Cn
(
B
).
Wenn man die Monotonie nicht mehr garantieren kann und die Reflexivitat als
eine selbstverstandliche und daher allzu schwache Forderung ansieht, so kommt der
Schnitteigenschaft eine besondere Bedeutung zu. Sie besagt, dass die Vergroßerung
einer Formelmenge durch ableitbares Wissen nicht zu einer echten Erweiterung des
Wissens fuhren darf. Formal ausgedruckt: Alles, was aus
B
mit
A⊆B⊆
Cn
(
A
)
gefolgert werden kann, kann auch schon aus
gefolgert werden. Gabbay [73] be-
merkte, dass es in der klassischen Logik ein Gegenstuck zur Schnitteigenschaft gibt,
das allerdings von der Monotonie uberdeckt wird. Es handelt sich hier um die Ei-
genschaft der
vorsichtigen Montonie
:
A
A⊆B⊆
Cn
(
A
)
impliziert
Cn
(
A
)
⊆
Cn
(
B
)
In der nichtmonotonen Logik wurde die vorsichtige Monotonie als Eigenschaft wie-
der interessant. Gemeinsam mit der Schnitteigenschaft macht sie die
Kumulativitat
einer Inferenzoperation aus:
A⊆B⊆
Cn
(
A
)
impliziert
Cn
(
B
)=
Cn
(
A
)
Kumulativitat besagt also, dass
die Hinzunahme ableitbaren Wissens die Menge der
Inferenzen nicht verandert
. Sie verleiht dem Inferenzprozess daher eine verlassliche
Stabilitat, die im Bereich des nichtmonotonen Schließens sehr geschatzt wird.
Wir wollen nun der Frage nachgehen, ob die bisher vorgestellten Inferenzrela-
tionen das Kriterium der Kumulativitat erfullen. Wir beginnen mit der Reiter'schen
Defaultlogik und betrachten das folgende Beispiel:
Beispiel 9.54 (Kumulativitat)
T =(W, Δ) sei die Reiter'sche Default-Theorie
mit W =
∅
und
δ
1
=
: a
a
a
∨
b :
¬
a
Δ=
{
,δ
2
=
}
¬
a
Die einzige Extension ist hier
Cn
(
{
a
}
), da nur δ
1
angewendet werden kann. Also ist
C
Reiter
Δ
(
∅
)=
Cn
(
{
a
}
)
C
Reiter
Δ
und insbesondere a
∨
b
∈
(
∅
). Wir erweitern nun W =
∅
um diese nicht-
b zu W
=
monotone Folgerung a
und betrachten die Default-Theorie
T
=(W
, Δ). Hier konnen nun beide Defaults (jeder fur sich!) angewendet werden,
und wir erhalten daher die zwei Extensionen
∨
{
a
∨
b
}
