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E
1
=
Cn
(
{
a
∨
b, a
}
)=
Cn
(
{
a
}
)
und
E
2
=
Cn
(
{
a
∨
b,
¬
a
}
)=
Cn
(
{¬
a, b
}
)
Dann ist C
Reiter
Δ
(W
)=E
1
∩
)=C
Reiter
Δ
E
2
=
Cn
(
{
a
}
(W ), da a/
∈
E
1
∩
E
2
.
Dieses Beispiel zeigt, dass die Reiter'sche Default-Logik nicht kumulativ ist.
Genauer gesagt, erfullt sie nicht die Eigenschaft der vorsichtigen Monotonie. Es gilt
namlich:
Proposition 9.55
Die Reiter'sche Inferenzoperation
C
Reiter
Δ
erfullt die Schnitt-
eigenschaft.
Ein Beweis findet sich in [191] und in [141]. Da C
Reiter
Δ
nachgewiesenermaßen
nicht kumulativ ist, kann sie daher nicht vorsichtig monoton sein.
Auch die JTMS-Inferenzoperation ist nicht kumulativ. Die Ubertragung des
Beispiels 9.54 in die Sprache der JTMS liefert das entsprechende Gegenbeispiel.
Eine kumulative Version eines JTMS wird in [27] vorgestellt.
Die Antwortmengensemantik logischer Programme ist ebenfalls nicht vorsichtig
monoton. Ein Gegenbeispiel lasst sich hier mit Hilfe des Programms
P
:
P (a)
←
not
P (b).
P (b)
←
P (c),
not
P (a).
P (c)
←
P (a).
konstruieren. Die einzige Antwortmenge von
P
ist S
1
=
{
P (a),P(c)
}
, also gilt
=
as
P (a),P(c). Wir erweitern nun
P|
P
um das Faktum P (c)., das ja eine Folgerung
P
besitzt neben S
1
noch eine weitere Antwortmenge
von
P
ist. Das neue Programm
=
as
P (a), d.h. die Hinzunahme des
abgeleiteten P (c) hat die bisherige Folgerung P (a) ungultig gemacht.
Die Poole'sche Inferenzoperation C
Poole
D
P
S
2
=
{
P (b),P(c)
}
. Wir haben also nun
|
hingegen genugt sowohl der Schnitt-
eigenschaft als auch der vorsichtigen Monotonie:
Theorem 9.56
C
P oole
D
ist kumulativ.
Fur den Beweis hierzu verweisen wir wieder auf Makinsons Ubersichtsartikel
[141], der einen Katalog weiterer formaler Kriterien fur nichtmonotone Inferenzope-
rationen enthalt und einige wichtige Ansatze ausfuhrlich diskutiert.
9.13
Ruckblick
Die Techniken des nichtmonotonen Schließens werden immer dann notwendig, wenn
es sich um die Verarbeitung unsicheren oder unvollstandigen Wissens handelt.
Mit der detaillierten Vorstellung der Truth Maintenance-Systeme, zweier Default-
Logiken und sowohl der stabilen als auch der Antwortmengensemantik logischer
Programme haben wir drei typische Paradigmen zur Realisierung des nichtmonoto-
nen Schließens prasentiert:
