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8.1.8
Normale Defaults
Normale Defaults sind Defaults, deren Konsequenz auch ihre einzige Begrundung
darstellt.
Definition 8.31 (normaler Default)
Ein Default der Form
ϕ : ψ
ψ
heißt ein
normaler Default
.
So ist z.B.
Vogel
:
Fliegen
Fliegen
ein normaler Default (s. auch oben Beispiel 8.30). Alle Beispiele in Abschnitt 8.1.1
sind normale Defaults.
Ein normaler Default erlaubt den nichtmonotonen Schluss auf ψ,wennψ kon-
sistent angenommen werden kann. Das ist intuitiv sehr einleuchtend und schließt
viele problematische und pathologische Defaults aus.
Normale Default-Theorien
,
d.h. Default-Theorien mit ausschließlich normalen Defaults, zeigen denn auch ein
sehr angenehmes Verhalten.
Betrachten wir die Prozesse einer normalen Default-Theorie T =(W, Δ). Wir
wollen W als konsistent voraussetzen, denn anderenfalls ist die Frage der Extensio-
nen bereits geklart (vgl. Proposition 8.26). Jeder solche Prozess Π = (δ
0
,δ
1
,...)be-
steht nur aus normalen Defaults δ
k
=
ϕ
k
: ψ
k
ψ
k
. Es ist dann
In
(Π) =
Cn
(W
∪{
ψ
k
}
k
)
und
Out
(Π) =
ψ
k
}
k
. Da Π ein Prozess ist, konnte jeder vorkommende Default
angewendet werden. Insbesondere ist also
{¬
¬
ψ
k
/
∈
In
(Π), also
In
(Π)
∩
Out
(Π) =
∅
.
Dies zeigt die Richtigkeit der folgenden Proposition:
Proposition 8.32
Jeder Prozess einer normalen Default-Theorie ist erfolgreich.
Damit kann jeder Prozess einer normalen Default-Theorie so lange erweitert
werden, bis schließlich ein geschlossener und nach Proposition 8.32 auch erfolgrei-
cher Prozess vorliegt, der eine Extension liefert. Damit gilt das folgende wichtige
Theorem:
Theorem 8.33 (Existenz von Extensionen)
Normale Default-Theorien besit-
zen immer Extensionen.
Das nachste Theorem zeigt, dass nicht nur die Existenz von Extensionen bei
normalen Default-Theorien gesichert ist, sondern auch, dass ihre Extensionen von
kontinuierlicherer Natur sind als allgemein ublich in der Default-Logik: Normale
Default-Logik ist
semi-monoton
, d.h. monoton in Bezug auf die Default-Menge (vgl.
die Bemerkungen auf Seite 258).
Theorem 8.34 (Semi-Monotonie)
Seien
T =(W, Δ)
und
T
=(W, Δ
)
normale
Default-Theorien mit gleicher Faktenmenge
W
und
Δ
⊆
Δ
. Dann ist jede Extension
von
T
in einer Extension von
T
enthalten.
