Cryptography Reference
In-Depth Information
Wir betrachten die Grafik auf Seite 5 zur Häufigkeitsverteilung der Buch-
staben
a
,
b
,
c
,...,
z
des deutschen Alphabets
A
in einem durchschnittlichen
deutschen Text. Ist
h
die relative Häufigkeit des Buchstabens
α
∈
A
, so ist
α
→
[
]
p
:
A
0, 1
mit
p
(
α
)
:
=
h
für jedes
α
∈
A
α
eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf der Menge
A
.
2.2.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit
∈
(
)
Es sei
p
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Menge
P
. Sind
A
,
B
Pot
P
Ereignisse mit
p
(
B
)
=
0, so nennt man
p
(
A
∩
B
)
p
(
A
|
B
)
:
=
(
)
p
B
die
bedingte Wahrscheinlichkeit
für das Eintreffen von
A
, wenn man
B
schon
beobachtet hat. Man sagt, die Ereignisse
A
und
B
sind
unabhängig
, falls
(
∩
)=
(
)
·
(
)
p
A
B
p
A
p
B
.
(
)
=
(
|
)=
(
)
Gilt
p
. Das Eintreten des
Ereignisses
B
hat dann keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit, mit der das
Ereignis
A
eintritt. Entsprechend ist die Unabhängigkeit der Ereignisse
A
und
B
mit
p
B
0, so ist das gleichbedeutend mit
p
A
B
p
A
(
A
)
=
0 gleichbedeutend mit
p
(
B
|
A
)=
p
(
B
)
.
Beispiel
Wir werfen einen fairen Würfel. Die Menge
P
der möglichen
Ergebnisse versehen wir mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
p
, die eine Gleich-
verteilung liefert, d. h.
=
{
1, 2, 3, 4, 5, 6
}
1
6
(
)=
∈
p
x
für alle
x
P
.
≥
Nun untersuchen wir die Ereignisse
A
, eine Augenzahl
5,
B
, eine gerade Zahl
und
C
, eine Augenzahl
≤
3, zu werfen, d. h.
A
=
{
5, 6
}
,
B
=
{
2, 4, 6
}
und
C
=
{
1, 2, 3
}
.
∩
Für die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse sowie der Ereignisse
A
B
und
∩
C
B
erhalten wir
1
3
,
p
1
2
,
p
1
2
,
p
1
6
,
p
1
6
.
(
)=
(
)=
(
)=
(
∩
)=
(
∩
)=
p
A
B
C
A
B
C
B
Nun rechnen wir nach:
1/6
1/2
=
1
3
=
1/6
1/2
=
1
3
(
|
)
=
(
)
(
|
)
=
=
(
)
p
A
B
:
p
A
und
p
C
B
:
p
C
.
