Cryptography Reference
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2.2.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung und Wahrscheinlichkeitsfunktion
Wir nennen eine Abbildung
p
: Pot
(
P
)
→
[
0, 1
]
mit den beiden Eigenschaften
(
)=
(
∪
)=
(
)+
(
)
∩
=
∅
p
P
1 und
p
A
B
p
A
p
B
,
falls
A
B
eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf der Menge
P
. Für jedes Element
A
∈
(
)
(
)
∈
[
]
Pot
P
bezeichnen wir die Zahl
p
A
0, 1
als die
Wahrscheinlichkeit
, mit der
das
Ereignis
A
∈
Pot
(
P
)
eintritt. Man beachte, dass
p
(
∅
)=
0 gilt. Dies folgt aus:
(
)=
(
∪
∅
)=
(
)+
(
∅
)
p
A
p
A
p
A
p
.
Eine
Wahrscheinlichkeitsfunktion
auf der (endlichen) Menge
P
ist eine Abbil-
dung
p
:
P
→
[
]
0, 1
mit der Eigenschaft
x
∈
P
p
(
x
)=
1.
Aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
p
: Pot
(
P
)
→
[
0, 1
]
gewinnt man eine
→
[
]
Wahrscheinlichkeitsfunktion
p
:
P
0, 1
, indem man setzt
p
(
x
)
:
=
p
(
{
x
}
)
für alle
x
∈
P
.
Es gilt dann nämlich:
x
∈
P
p
(
x
)=
x
∈
P
p
(
{
x
}
)=
p
x
∈
P
{
x
}
=
(
)=
p
P
1.
Ist umgekehrt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion
p
:
P
→
[
]
0, 1
gegeben, dann
wird durch
p
: Pot
(
P
)
→
[
0, 1
]
, wobei
=
x
∈
A
p
(
x
)
(
)
∈
(
)
p
A
:
für alle
A
Pot
P
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert.
Wir unterscheiden im Weiteren die beiden Abbildungen
p
und
p
nicht typogra-
fisch, d. h., wir setzen
p
p
. Wir werden stets mit einer der beiden Abbildungen
die andere als gegeben annehmen.
=
Beispiel
Es sei
|
P
|
=
q
=
0. Wir erklären eine Abbildung
p
:
P
→
[
0, 1
]
durch
1
q
(
)
=
∈
p
x
:
für jedes
x
P
.
Offenbar ist
p
eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf der Menge
P
. Die daraus
resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man
Gleichverteilung
.
