Cryptography Reference
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Somit sind die Ereignisse
A
und
B
unabhängig, die Ereignisse
C
und
B
aber nicht.
Dieses Ergebnis erscheint auch plausibel, da das Eintreten des Ereignisses
B
, also
das Würfeln einer geraden Zahl, keine Konsequenz auf die Wahrscheinlichkeit
hat, mit der das Ereignis
A
=
{
}
5, 6
eintritt, sehr wohl aber auf die Wahrschein-
lichkeit des Ereignisses
C
=
{
1, 2, 3
}
.
Für das Weitere benötigen wir:
Satz 2.1
(Bayes)
Für Ereignisse A
,
B
⊆
P mit p
(
A
)
,
p
(
B
)
>
0
gilt
(
)
·
(
|
)=
(
)
·
(
|
)
p
A
p
B
A
p
B
p
A
B
.
Beweis.
Die Behauptung folgt unmittelbar, indem man in die angegebene Glei-
chung
p
(
B
∩
A
)
p
(
A
∩
B
)
p
p
p
(
|
)=
(
|
)=
B
A
und
p
A
B
einsetzt.
(
)
(
)
A
B
2.3 Der Satz von Shannon
Der Satz von Shannon kennzeichnet perfekt sichere Kryptosysteme.
2.3.1 Perfekt sichere Kryptosysteme
Gegeben sei ein Kryptosystem
mit endlichen Mengen
P
,
C
,
K
.
Wir nehmen an, dass auf den Mengen
P
und
K
je eine Wahrscheinlichkeitsfunkti-
on
p
P
und
p
K
gegeben ist. Mithilfe von
p
P
und
p
K
definieren wir eine Wahrschein-
lichkeitsfunktion
p
auf dem kartesischen Produkt
P
S
=(
P
,
C
,
K
,
f
,
g
)
×
=
{
(
)
∈
∈
}
K
x
,
k
;
x
P
,
k
K
durch
p
:
P
×
K
→
[
0, 1
]
,
(
x
,
k
)
→
p
P
(
x
)
·
p
K
(
k
)
.
Dass
p
tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, zeigt die folgende Rech-
nung:
∑
(
x
,
k
)
∈
P
×
K
)=
k
∈
K x
∈
P
p
P
(
x
)
·
p
K
(
k
)=
k
∈
K
p
K
(
k
)=
1.
(
p
x
,
k
Bemerkung
In der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion
p
drückt sich die Annahme
aus, dass
x
∈
∈
P
und
k
K
unabhängig voneinander gewählt werden.
Die Verschlüsselungsfunktion
f
:
P
×
K
→
C
unseres gegebenen Kryptosystems
S
(
)
∈
×
(
)=
ordnet einem Klartext-Schlüssel-Paar
x
,
k
P
K
den Geheimtext
f
x
,
k
c
zu. Für fest gewählte
x
∈
P
,
k
∈
K
und
c
∈
C
betrachten wir die folgenden
×
Teilmengen, d. h. Ereignisse von
P
K
:
f
−
1
x
×
K
,
P
×
k
,
D
c
:
=
(
c
)
.
