Cryptography Reference
In-Depth Information
Zur Begründung von
(
∗
)
: Nach Lemma 13.6 gilt mit
v
=
0:
0
,
∂
f
)+
∂
f
\
=
(
)
x
(
)(
−
y
(
)
=
T
P
U
x
,
y
;
P
x
u
P
y
∂
∂
und weiter
∂
)+
∂
f
f
3
u
2
x
(
P
)(
x
−
u
y
(
P
)
y
=(
−
−
a
)(
x
−
u
)+
2
·
0
·
y
=
0
⇔
x
=
u
,
∂
∂
3
u
2
0, weil das Polynom
x
3
da
−
−
a
=
+
ax
+
b
nach Voraussetzung keine mehr-
fachen Nullstellen hat. Somit gilt
T
P
\
U
=
{
(
x
,
y
)
;
x
=
u
}
=
O
,
P
\{O}
,
wie man auch dem Beispiel auf Seite 224 entnehmen kann. Hieraus folgt nun die
Gleichung in
(
∗
)
und damit ist der Fall (ii) abgeschlossen.
(iii) Wir bestimmen nun
P
∗
Q
, falls
P
=
−
Q
:
Im Fall
P
=
Q
gilt
v
=
0, und wir können die Gleichung
(
∗
)
anwenden: Es folgt
∗
=
O
O
P
P
, da der dritte Schnittpunkt von
T
P
mit
E
der unendlich ferne Punkt
ist. In diesem Fall gilt folglich:
P
∗
Q
=
O
.
=
=
=
−
Im Fall
P
Q
erhalten wir
u
s
und
v
t
, und weiter gilt:
=
{
(
)
=
}
O∈
∗
=
O
P
,
Q
x
:
y
:
z
;
x
uz
und
P
,
Q
,d.h.
P
Q
.
Man beachte, dass
P
=(
u
,
v
)
und
Q
=(
u
,
−
v
)
nach Voraussetzung zwei ver-
∩
O
schiedene Punkte in
P
,
Q
E
sind;
ist der dritte, es gilt daher erneut:
∗
=
O
P
Q
.
(iv) Wir bestimmen
P
∗
Q
im Fall
P
=
±
Q
. Die Punkte
P
,
Q
,
−
Q
=(
s
,
−
t
)
liegen
v
−
t
=
±
=
=
in
E
. Wegen
P
−
s
und schneiden die Gerade
P
,
Q
mit der Punktmenge
E
. Für die Gerade
P
,
Q
erhalten wir die Darstellung
Q
gilt
u
s
. Wir setzen
α
:
u
=
α
(
−
)+
P
,
Q
:
y
x
u
v
.
Nun setzen wir dies in die
E
definierende Gleichung ein und finden
2
x
3
(
α
(
x
−
u
)+
v
)
=
+
ax
+
b
.
Dieses kubische Polynom hat nach Konstruktion
u
und
s
als Nullstellen. Ausmul-
tiplizieren und Koeffiziente
nve
rgleich liefern daher für die
x
-Koordinate
w
des
dritten Schnittpunktes von
P
,
Q
mit
E
:
x
3
2
x
2
2
−
α
+
···
=(
x
−
u
)(
x
−
s
)(
x
−
w
)
⇒
α
=
u
+
s
+
w
,
