Cryptography Reference
In-Depth Information
2
und somit
w
. Durch Einsetzen in die Gleichung für
P
,
Q
ergibt
sich daraus sofort die
y
-Koordinate. Damit gilt wie behauptet:
=
α
−
u
−
s
∈
F
∗
=(
α
(
−
)+
)
P
Q
w
,
w
u
v
.
∗
=
=
−
=
=
(v) Wir bestimmen
P
0. In diesem
Fall ist nach Definition die Gerade
P
,
P
die Tangente
T
P
an
P
. Mit Lemma 13.6
erhalten wir:
Q
im Fall
P
Q
P
. Es gilt
u
s
und
v
⇔
∂
f
)+
∂
f
(
)
∈
\
x
(
)(
−
y
(
)(
−
)=
x
,
y
T
P
U
P
x
u
P
y
v
0
∂
∂
3
u
2
⇔
(
−
−
a
)(
x
−
u
)+
2
v
(
y
−
v
)=
0.
3
u
2
+
a
α
=
Folglich gilt mit
:
:
2
v
(
)
∈
\
⇔
=
α
(
−
)+
x
,
y
T
P
U
y
x
u
v
.
Nun schneiden wir die Gerade
T
P
mit der elliptischen Kurve
E
, d. h., wir setzen:
(
α
(
2
x
3
x
3
−
)+
)
=
+
+
=
+
(
−
)+
+
x
u
v
ax
b
a
x
u
b
au
.
Wir bestimmen nun die Werte von
x
, für welche diese Gleichung erfüllt ist. Dazu
multiplizieren wir die linke Seite aus und bringen alles auf eine Seite:
x
3
2
2
v
2
=
−
α
(
−
)
+(
−
α
)(
−
)+
+
−
0
x
u
a
2
v
x
u
b
au
=
−
u
3
x
2
u
2
2
3
u
2
=(
x
−
u
)(
+
xu
+
−
α
(
x
−
u
)
−
)
=
x
3
−
u
3
x
2
2
u
2
2
=(
x
−
u
)(
+
xu
−
−
α
(
x
−
u
))
2
=(
x
−
u
)
(
x
−
w
)
,
denn
u
ist Nullstelle des geklammerten Ausdrucks der vorletzten Zeile. Wie oben
sei
w
die
x
-Koordinate des dritten Schnittpunktes von
T
P
mit
E
. Den Wert von
w
erhalten wir durch einen Koeffizientenvergleich bei
x
2
, es gilt:
x
3
2
x
2
2
x
3
x
2
−
α
+
···
=(
x
−
u
)
(
x
−
w
)=
−
(
w
+
2
u
)
+
···
.
Damit erhalten wir wie behauptet
2
=
α
−
∗
=
∗
=(
α
(
−
)+
)
w
2
u
, und
P
Q
P
P
w
,
w
u
v
.
Bemerkung
Im Fall
P
3
u
2
v
−
t
+
a
=
±
=
α
=
−
s
=
Q
und
P
,
Q
T
P
gilt die Gleichung
(und
u
2
v
∗
=
natürlich auch
P
Q
P
). Der dritte Schnittpunkt von
P
,
Q
mit
E
ist
P
.
3
u
2
+
a
(
)
∈
\
⇔
=
(
−
)+
=
α
(
−
)+
x
:
y
:1
T
P
U
y
x
u
v
x
u
v
.
2
v
Dabei haben wir bei der letzten Gleichheit
T
P
=
P
,
Q
benutzt.
