Cryptography Reference
In-Depth Information
13.4.2 Eine Verknüpfung auf
E
Wir erklären nun eine Verknüpfung
∗
auf
E
. Durch eine kleine Modifikation der
Verknüpfung
wird
E
dann zu einer Gruppe.
Etwas salopp ausgedrückt erklären wir für zwei Pun
kte
P
und
Q
aus
E
das Pro-
dukt
P
∗
∗
Q
als den dritten Schnittpunkt der Geraden
P
,
Q
mit
E
:
P
∗
Q
=
3. Schnittpunkt von
P
,
Q
mit
E
.
Aber dazu müssen wir vorab festlegen, was wir unter der Geraden
P
,
Q
im Fall
P
=
Q
verstehen wollen, und außerde
m m
uss geklärt werden, was der
dritte
Schnittpunkt sein soll, wenn die Gerade
P
,
Q
mit
E
nur zwei Schnittpunkte hat.
Wir treffen einfache und naheliegen
de F
estlegungen:
Es seien
P
,
Q
∈
=
=
E
. Ist
P
Q
,sosei
P
,
P
:
T
P
.
=
•
Hat im Fall P
Q
die Tangente
T
P
als einzigen Schnittpunkt mit
E
nur den
Punkt
P
, so sei
P
∗
P
=
P
.
•
Im Fall P
,
Q
=
T
P
, aber
P
=
Q
sei
P
∗
Q
=
P
.
•
Im Fall P
,
Q
=
T
Q
, aber
P
=
Q
sei
P
∗
Q
=
Q
.
•
Ansonsten
sei
P
∗
Q
der dritte Schnittpunkt der Geraden
P
,
Q
mit
E
.
Beachte, dass es nach den Überlegungen im vorigen Abschnitt keine weiteren
Fälle gibt.
Die folgende Abbildung zeigt eine Tangente und eine Sekante an
E
.
y
x
Wir zeigen, dass
P
∗
Q
stets existiert und geben eine explizite Formel für die Koor-
dinaten von
P
∗
Q
an. Bevor wir mit dem nicht ganz einfachen Beweis beginnen,
