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13.4 Die Gruppe
E
Gegeben sei die elliptische Kurve
E
:
y
2
x
3
=
+
+
ax
b
.
Wir betrachten zunächst die Menge der Schnittpunkte einer Geraden mit der
Punktmenge
E
.
13.4.1 Schnittpunkte von Geraden mit
E
Die unendlich ferne Gerade
U
schneidet die Punktmenge
E
nur im unendlich
fernen Punkt
O
=
; nach Lemma 13.5 ist
U
T
.
O
=
α
+
β
Eine Gerade der Form
y
x
schneidet die Punktmenge
E
wie folgt. Wir
setzen
y
=
α
x
+
β
in die Gleichung
f
(
x
,
y
)=
0 ein und erhalten:
2
x
3
(
∗
)
(
α
x
+
β
)
=
+
ax
+
b
.
Das ist eine kubische Gleichung für die
x
-Koordinaten der Schnittpunkte. Also
gibt es im Allgemeinen 3 Schnittpunkte der affinen Geraden
y
=
α
+
β
x
mit der
Punktmenge der elliptischen Kurve
E
, es seien dies
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
,
(
x
3
,
y
3
)
.
Diese Punkte existieren zumindest in einem Erweiterungskörper von
F
. Wenn
zwei der Punkte über
existieren, dann auch der dritte.
Die drei
x
-Koordinaten der Schnittpunkte müssen nicht voneinander verschie-
den sein. Aber falls zwei Schnittpunkte die gleiche
x
-Koordinate haben, d. h.
x
i
F
=
=
=
=
α
+
β
x
j
für
i
j
, so gilt auch
y
i
y
j
und die (affine) Gerade
y
x
ist
eine Tangente an die elliptische Kurve in dem betrachteten Punkt
P
=(
x
i
,
y
i
)
. Ist
(
∗
)
+
β
=
nämlich
x
i
eine doppelte Nullstelle der Gleichung
, so gilt
α
x
i
0 und
x
i
(
∗
)
erfüllt auch die folgende Gleichung, die durch Ableiten aus
entsteht:
3
x
i
+
a
3
x
i
+
(
α
+
β
)
α
=
α
=
2
x
i
a
,d.h.
.
(
α
+
β
)
2
x
i
Nach Lemma 13.6 ist daher
α
die Steigung von
T
P
. Da die beiden Geraden
T
P
und
den Punkt
P
enthalten, gilt Gleichheit - man vgl. auch Aufgabe 13.6.
Die Parallele zur
y
-Achse
x
y
=
α
x
+
β
=
γ
hat mit
E
den unendlich fernen Punkt
O
ge-
3
meinsam (vgl. das Beispiel auf Seite 224). Falls
γ
+
a
γ
+
b
ein Quadrat in
F
ist,
so gibt es außerdem zwei affine Schnittpunkte
=(
γ
±
3
+
γ
+
)
P
1,2
,
γ
a
b
.
O
Beachte dabei, dass die Verbindungsgerade von
P
1
und
P
2
den Punkt
enthält.
Fallen die beiden affinen Punkte zusammen, d. h.
P
1
=
P
2
, so ist die Parallele zur
y
-Achse eine Tangente an
E
. Das folgt aus Lemma 13.6 mit dem Punkt
P
=(
γ
)
,0
.
