Cryptography Reference
In-Depth Information
13.3.2 Affine Beschreibung der Tangente
Wir übersetzen jetzt die Bildung der Tangenten ins Affine. Dabei nutzen wir, dass
jeder Punkt
(
α
γ
)
∈P
γ
=
∈
:
β
:
mit
0, also
P
U
, ohne Einschränkung eine
Darstellung der Form
(
α
:
β
:1
)
hat und durch die in Lemma 13.3 eingeführten
(
α
β
)
Abbildung
Φ
mit dem affinen Punkt
,
identifiziert werden kann.
Lemma 13.6
Für P
=(
α
:
β
:1
)
∈
E
\{O}
dürfen wir ohne Einschränkung P
=(
α
,
β
)
als affinen
Punkt auffassen. Dann gilt
0
.
∂
f
−
α
)+
∂
f
T
P
\
U
=
(
u
,
v
)
;
x
(
α
,
β
)(
u
y
(
α
,
β
)(
v
−
β
)=
∂
∂
Beweis.
Wir berechnen die partiellen Ableitungen an der Stelle
P
∂
F
=
∂
f
∂
F
β
=
∂
f
2
X
(
)=
−
−
x
(
α
β
)
Y
(
)=
y
(
α
β
)
P
3
α
a
,
,
P
2
,
,
∂
∂
∂
∂
∂
F
2
Z
(
)=
β
−
α −
P
2
a
3
b
.
∂
Weil
P
auf
T
P
liegt, gilt daher:
∂
f
)
α
+
∂
f
∂
)
β
=
−
∂
F
∂
x
(
P
y
(
P
Z
(
P
)
.
∂
Weiter erhalten wir für einen beliebigen Punkt
Q
∈P
:
∈
\
⇔
=(
)
∈
Q
T
P
U
Q
u
:
v
:1
T
P
⇔
∂
F
+
∂
F
+
∂
F
X
(
)
Y
(
)
Z
(
)=
P
u
P
v
P
0
∂
∂
∂
⇔
∂
f
+
∂
f
−
∂
f
)
α
−
∂
f
x
(
P
)
u
y
(
P
)
v
x
(
P
y
(
P
)
β
=
0
∂
∂
∂
∂
⇔
∂
f
−
α
)+
∂
f
x
(
P
)(
u
y
(
P
)(
v
−
β
)=
0.
∂
∂
\
Daher hat
T
P
U
die behauptete Darstellung.
Wir fassen zusammen: Die elliptische Kurve
E
zerfällt in einen affinen Teil (siehe
Abschnitt 13.2.2) und den unendlich fernen Punkt
O
. Der affine Teil ist gegeben
(
)
durch die Nullstellenmenge des Polynoms
f
x
,
y
. Die Tangente an den unend-
lich fernen Punkt
O
ist die unendlich ferne Gerade
U
. Die Tangente
T
P
an einen
=(
α
β
)
∈
affinen
Punkt
P
,
E
können wir (affin) auffassen als
0
.
∂
−
α
)+
∂
f
f
2
;
T
P
=
(
u
,
v
)
∈
F
x
(
α
,
β
)(
u
y
(
α
,
β
)(
v
−
β
)=
∂
∂
