Digital Signal Processing Reference
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Signal
Spektrum
16
Geometrische
Bildoperationen
g
(
u
)
G
(
ω
)
Abbildung 16.14
Interpolation eines diskreten Signals
- Zusammenhang zwischen Signal-
raum und Fourierspektrum. Dem
diskreten Signal
g
(
u
)imOrtsraum
(links) entspricht das periodische
Fourierspektrum
G
(
ω
)imSpektral-
raum (rechts). Das Spektrum
G
(
ω
)
des kontinuierlichen Signals wird
aus
G
(
ω
) durch Multiplikation (
×
)
mit der Rechteckfunktion
Π
π
(
ω
)
isoliert. Im Ortsraum entspricht
diese Operation einer linearen Fal-
tung (
∗
) mit der Funktion Sinc(
x
).
Sinc(
x
)
Π
π
(
ω
)
G
(
ω
)=
G
(
ω
)
·Π
π
(
ω
)
g
(
x
) = [Sinc
∗g
](
x
)
die Ergebnisse addiert, also
”
gefaltet“. Der rekonstruierte Wert der kon-
tinuierlichen Funktion an der Stelle
x
0
ist daher
∞
g
(
x
0
) = [Sinc
∗
g
](
x
0
)=
Sinc(
x
0
−
u
)
·
g
(
u
)
(16.41)
u
=
−∞
(
ist der Faltungsoperator, s. Abschn.6.3.1). Ist das diskrete Signal
g
(
u
),
wie in der Praxis meist der Fall,
endlich
mit der Lange
N
, so wird es als
periodisch angenommen, d. h.,
g
(
u
+
kN
)=
g
(
u
)fur
k
∗
.
5
∈
Z
In diesem
Fall andert sich Gl. 16.41 zu
∞
g
(
x
0
)=
Sinc(
x
0
−
u
)
·
g
(
u
mod
N
)
(16.42)
u
=
−∞
Dabei mag die Tatsache uberraschen, dass zur idealen Interpolation ei-
ner diskreten Funktion
g
(
u
) an einer Stelle
x
0
offensichtlich nicht nur
einige wenige benachbarte St¨utzstellenzuberucksichtigen sind, sondern
im Allgemeinen
unendlich viele Werte
von
g
(
u
), deren Gewichtung mit
der Entfernung von
x
0
stetig (mit
1
) abnimmt. Die Sinc-Funktion
nimmt allerdings nur langsam ab und benotigt daher fur eine ausreichend
genaue Rekonstruktion eine unpraktikabel große Zahl von Abtastwerten.
Abb. 16.15 zeigt als Beispiel die Interpolation der Funktion
g
(
u
)fur die
Positionen
x
0
=4
.
4 und
x
0
= 5. Wird an einer ganzzahlige Position wie
beispielsweise
x
0
= 5 interpoliert, dann wird der Funktionswert
g
(
x
0
)
mit 1 gewichtet, wahrend alle anderen Funktionswerte fur
u
|
x
0
−u
|
=
u
0
mit
5
Diese Annahme ist u. a. dadurch begrundet, dass einem diskreten Fourier-
spektrum implizit ein periodisches Signal entspricht (s. auch Abschn.
13.2.2).
