Digital Signal Processing Reference
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Sinc(
x
)
16.3
Interpolation
1
Abbildung 16.13
Sinc-Funktion in 1D. Die Funktion
Sinc(
x
) weist an allen ganzzahligen
Positionen Nullstellen auf und hat
am Ursprung den Wert 1. Die unter-
brochene Linie markiert die mit
|
x
|
abfallende Amplitude der Funktion.
0.5
x
6 4 2
2
4
6
Funktion (Abb. 16.11). Man konnte sich fragen, wie es moglich ware, die
unbekannten Funktionswerte zwischen den diskreten Stutzstellen noch
besser anzunahern. Dies mag zunachst hoffnungslos erscheinen, denn
schließlich konnte die diskrete Funktion
g
(
u
) von unendlich vielen kon-
tinuierlichen Funktionen stammen, deren Werte zwar an den diskreten
Abtaststellen ubereinstimmen, dazwischen jedoch beliebig sein konnen.
Die Antwort auf diese Frage ergibt sich (einmal mehr) aus der Be-
trachtung der Funktionen im Spektralbereich. Wenn bei der Diskreti-
sierung des kontinuierlichen Signals
f
(
x
)das
Abtasttheorem
(s. Abschn.
13.2.1) beachtet wurde, so bedeutet dies, dass
f
(
x
)
bandbegrenzt
ist, also
keine Frequenzkomponenten enthalt, die uber die Halfte der Abtastfre-
quenz
ω
s
hinausgehen. Wenn aber im rekonstruierten Signal nur endlich
viele Frequenzen auftreten konnen, dann ist damit auch dessen Form
zwischen den diskreten Stutzstellen entsprechend eingeschrankt.
Bei diesen Uberlegungen sind absolute Großen nicht von Belang, da
sich bei diskreten Signalen alle Frequenzwerte auf die Abtastfrequenz
beziehen. Wenn wir also ein (dimensionsloses) Abtastintervall
τ
s
=1
annehmen, so ergibt sich daraus die Abtastfrequenz
ω
s
=2
π
ω
2
und damit eine maximale Signalfrequenz
ω
max
=
=
π
.Umimzu-
gehorigen (periodischen) Spektrum den Signalbereich
ω
max
...ω
max
zu
isolieren, multiplizieren wir dieses Fourierspektrum (im Spektralraum)
mit einer Rechteckfunktion der Breite
−
π
.ImOrtsraument-
spricht diese Operation einer linearen
Faltung
(Gl. 13.27, Tabelle 13.1)
mit der zugehorigen Fouriertransformierten, das ist in diesem Fall die
Sinc
-Funktion
±
ω
max
=
±
Sinc(
x
)=
sin(
πx
)
πx
(16.40)
(Abb. 16.13). Dieser in Abschn. 13.1.6 beschriebene Zusammenhang zwi-
schen dem Signalraum und dem Fourierspektrum ist in Abb. 16.14 noch-
mals ubersichtlich dargestellt.
Theoretisch ist also Sinc(
x
) die ideale Interpolationsfunktion zur Re-
konstruktion eines kontinuierlichen Signals. Um den interpolierten Wert
der Funktion
g
(
u
)fur eine beliebige Position
x
0
zu bestimmen, wird
die Sinc-Funktion mit dem Ursprung an die Stelle
x
0
verschoben und
punktweise mit allen Werten von
g
(
u
)-mit
u
∈
Z
- multipliziert und
