Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
g
(
u
)
f
(
x
)
16
Geometrische
Bildoperationen
Abbildung 16.11
Interpolation einer diskreten Funk-
tion. Die Aufgabe besteht darin, aus
den diskreten Werten der Funktion
g
(
u
) (a) die Werte der ursprungli-
chen Funktion
f
(
x
) an beliebigen
Positionen
x ∈
R
zu schatzen (b).
u
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(a)
(b)
Abbildung 16.12
Einfache Interpolationsverfahren.
Bei der
Nearest-Neighbor-Inter-
polation
(a) wird fur jede konti-
nuierliche Position
x
der jeweils
nachstliegende, diskrete Funktions-
wert
g
(
u
) ubernommen. Bei der
li-
nearen Interpolation
(b) liegen die
geschatzten Zwischenwerte auf Ge-
raden, die benachbarte Funktions-
werte
g
(
u
) und
g
(
u
+ 1) verbinden.
g
(
x
)
g
(
x
)
x
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(a)
(b)
16.3.1 Einfache Interpolationsverfahren
Zur Illustration betrachten wir das Problem zunachst im eindimensiona-
len Fall (Abb.16.11). Um die Werte einer diskreten Funktion
g
(
u
),
u
∈
Z
,
an beliebigen Positionen
x
zu interpolieren, gibt es verschiedene Ad-
hoc-Ansatze. Am einfachsten ist es, die kontinuierliche Koordinate
x
auf
den nachstliegenden ganzzahligen Wert
u
0
zu runden und den zugehori-
gen Funktionswert
g
(
u
0
)zuubernehmen, d. h.
∈
R
g
(
x
)=
g
(
u
0
)
,
(16.37)
wobei
u
0
= Round(
x
)=
x
+0
.
5
.
(16.38)
Das Ergebnis dieser so genannten
Nearest-Neighbor
-Interpolation ist an-
hand eines Beispiels in Abb. 16.12 (a) gezeigt.
Ein ahnlich einfaches Verfahren ist die
lineare Interpolation
, bei der
die zu
x
links und rechts benachbarten Funktionsswerte
g
(
u
0
) und
g
(
u
0
+
1), mit
u
0
=
x
, proportional zum jeweiligen Abstand gewichtet werden:
·
g
(
u
0
+1)
g
(
u
0
)
g
(
x
)=
g
(
u
0
)+(
x
−
u
0
)
−
(16.39)
=
g
(
u
0
)
·
1
−
(
x − u
0
)
+
g
(
u
0
+1)
·
(
x − u
0
)
Wie in Abb.16.12 (b) gezeigt, entspricht dies der stuckweisen Verbindung
der diskreten Funktionswerte durch Geradensegmente.
16.3.2 Ideale Interpolation
Offensichtlich sind aber die Ergebnisse dieser einfachen Interpolations-
verfahren keine gute Annaherung an die ursprungliche, kontinuierliche
