Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
Sinc(
x−
4
.
4)
Sinc(
x−
5)
16.3
Interpolation
1
1
Abbildung 16.15
Interpolation durch Faltung mit der
Sinc-Funktion. Die Sinc-Funktion
wird mit dem Ursprung an die In-
terpolationsstelle
x
0
=4
.
4(a)bzw.
x
0
= 5 (b) verschoben. Die Werte der
Sinc-Funktion an den ganzzahligen
Positionen bilden die Koezienten
fur die zugehorigen Werte der diskre-
ten Funktion
g
(
u
). Bei der Interpola-
tion fur
x
0
=4
.
4 (a) wird das Ergeb-
nis aus (unendlich) vielen Koezien-
ten berechnet. Bei der Interpolation
an der ganzzahligen Position
x
0
=5
(b), wird nur der Funktionswert
g
(5)
- gewichtet mit dem Koezienten 1
-berucksichtigt, alle anderen Signal-
werte fallen mit den Nullstellen der
Sinc-Funktion zusammen und tragen
daher nicht zum Ergebnis bei.
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
x
x
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0.2
0.2
x
0
=4
.
4
x
0
=5
0.4
0.4
(a)
(b)
den Nullstellen der Sinc-Funktion zusammenfallen und damit unberuck-
sichtigt bleiben. Dadurch stimmen an den ganzzahligen Positionen die
interpolierten Werte mit den entsprechenden Werten der diskreten Funk-
tion exakt uberein.
16.3.3 Interpolation durch Faltung
Fur die Interpolation mithilfe der linearen Faltung konnen neben der
Sinc-Funktion auch andere Funktionen als
”
Interpolationskern“
w
(
x
)
verwendet werden. In allgemeinen Fall wird dann (analog zu Gl. 16.41)
die Interpolation in der Form
∞
g
(
x
0
)=[
w
∗
g
](
x
0
)=
w
(
x
0
−
u
)
·
g
(
u
)
(16.43)
u
=
−∞
berechnet. Beispielsweise kann die eindimensionale
Nearest-Neighbor
-
Interpolation (Gl. 16.38, Abb. 16.12 (a)) durch eine Faltung mit dem In-
terpolationskern
w
nn
(
x
)=
1fur
−
0
.
5
≤
x<
0
.
5
(16.44)
0 t
dargestellt werden, bzw. die
lineare
Interpolation (Gl. 16.39, Abb. 16.12
(b)) mit dem Kern
w
lin
(
x
)=
1
−
x
fur
|
x
|
<
1
(16.45)
0
fur
|
x
|≥
1
Beide Interpolationskerne sind in Abb. 16.16 dargestellt.
16.3.4 Kubische Interpolation
Aufgrund des unendlich großen Interpolationskerns ist die Interpolation
durch Faltung mit der Sinc-Funktion in der Praxis nicht realisierbar.
Man versucht daher, auch aus E
zienzgrunden, die ideale Interpolation
durch kompaktere Interpolationskerne anzunahern. Eine haufig verwen-
dete Annaherung ist die so genannte
”
kubische“ Interpolation, deren In-
terpolationskern durch stuckweise, kubische Polynome folgendermaßen
definiert ist:
