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den gemischten Term
xy
ist die bilineare Transformation selbst im homo-
genen Koordinatensystem nicht als lineare Abbildung darzustellen. Im
Unterschied zur projektiven Abbildung bleiben daher Geraden im Allge-
meinen nicht erhalten, sondern gehen in quadratische Kurven uber, auch
Kreise werden nicht in Ellipsen abgebildet.
Eine bilineare Abbildung wird durch vier korrespondierende Punkt-
paare (
16.1
2D-Koordinaten-
transformation
x
4
) eindeutig spezifiziert. Im allgemeinen Fall, also
fur die Abbildung zwischen beliebigen Vierecken, konnen die Koe
zien-
ten
a
1
...a
4
,
b
1
...b
4
als Losung von zwei getrennten Gleichungssystemen
mit jeweils vier Unbekannten bestimmt werden:
⎛
x
1
,
x
1
)
...
(
x
4
,
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
x
1
x
2
x
3
x
4
x
1
y
1
x
1
y
1
1
x
2
y
2
x
2
y
2
1
x
3
y
3
x
3
y
3
1
x
4
y
4
x
4
y
4
1
a
1
a
2
a
3
a
4
⎝
⎠
⎝
⎠
·
⎝
⎠
=
bzw.
X
=
M
·
a
(16.31)
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
·
⎛
⎝
⎞
⎠
y
1
y
2
y
3
y
4
x
1
y
1
x
1
y
1
1
x
2
y
2
x
2
y
2
1
x
3
y
3
x
3
y
3
1
x
4
y
4
x
4
y
4
1
b
1
b
2
b
3
b
4
=
bzw.
Y
=
M
·
b
(16.32)
Eine konkrete Java-Implementierung dieser Berechnung dazu findet sich
in der Methode
makeInverseMapping()
der Klasse
BilinearMapping
auf S. 404.
Fur den speziellen Fall der Abbildung des
Einheitsquadrats
auf ein
beliebiges Viereck
x
4
) durch die bilineare Transformation
ist die Losung fur die Parameter
a
1
...a
4
,
b
1
...b
4
a
1
=
x
2
−
Q
=(
x
1
,...
x
1
b
1
=
y
2
−
y
1
a
2
=
x
4
−
x
1
b
2
=
y
4
−
y
1
a
3
=
x
1
−
x
2
+
x
3
−
x
4
b
3
=
y
1
−
y
2
+
y
3
−
y
4
a
4
=
x
1
b
4
=
y
1
16.1.6 Weitere nichtlineare Bildverzerrungen
Die bilineare Transformation ist nur ein Beispiel fur eine nichtlineare Ab-
bildung im 2D-Raum, die nicht durch eine einfache Matrixmultiplikation
in homogenen Koordinaten dargestellt werden kann. Daruber hinaus gibt
es unzahlige weitere nichtlineare Abbildungen, die in der Praxis etwa zur
Realisierung diverser Verzerrungseffekte in der Bildgestaltung verwendet
werden. Je nach Typ der Abbildung ist die Berechnung der inversen Ab-
bildungsfunktion nicht immer einfach. In den folgenden drei Beispielen
ist daher nur jeweils die Ruckwartstransformation
=
T
−
1
(
x
)
x
angegeben, sodass fur die praktische Berechnung (durch
Target-to-Source
Mapping
, siehe Abschn. 16.2.2) keine Inversion der Abbildungsfunktion
erforderlich ist.
