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16
Geometrische
Bildoperationen
x
3
x
4
x
4
T
Abbildung 16.5
Projektive Abbildung zwischen den
beliebigen Vierecken (
quadrilaterals
)
Q
und
Q
durch zweistufige Trans-
formation uber das Einheitsquadrat
S
1
.InSchritt1wirddasursprung-
liche Viereck
Q
uber
T
−
1
1
x
3
Q
Q
x
2
T
−
1
1
auf das
Einheitsquadrat
S
1
abgebildet.
T
2
transformiert dann in Schritt 2 das
Quadrat
S
1
auf das Zielviereck
Q
.
Die Verkettung von
T
−
1
1
x
1
x
1
y
x
2
T
1
T
2
und
T
2
er-
gibt die Gesamttransformation
T
.
S
1
x
Beispiel
Das Ausgangsviereck
Q
und das Zielviereck
Q
sind definiert durch fol-
gende Koordinatenpunkte:
Q
:
x
1
=(2
,
5)
x
2
=(4
,
6)
x
3
=(7
,
9)
x
4
=(5
,
9)
Q
:
x
1
=(4
,
3)
x
2
=(5
,
2)
x
3
=(9
,
3)
x
4
=(7
,
5)
Daraus ergeben sich in Bezug auf das Einheitsquadrat
S
1
die projektiven
S
1
→Q
Abbildungen
A
1
:
S
1
→Q
und
A
2
:
mit
⎛
⎞
⎛
⎞
3
.
3
˙
3
.
50
2
.
00
1
.
00
−
0
.
50
4
.
00
⎝
⎠
A
2
=
⎝
⎠
A
1
=
3
.
00
−
0
.
50
5
.
00
−
1
.
00
−
0
.
50
3
.
00
0
.
3 3
−
0
.
50
1
.
00
0
.
00
−
0
.
50
1
.
00
A
−
1
1
Durch Verkettung von
A
2
mit der inversen Abbildung
erhalten wir
A
2
·
A
−
1
,wobei
schließlich die Gesamttransformation
A
=
⎛
⎞
⎛
⎞
0
.
60
−
0
.
45
1
.
05
−
0
.
80
1
.
35
−
1
.
15
A
−
1
1
⎝
⎠
⎝
⎠
=
−
0
.
40
0
.
80
−
3
.
20
A
=
−
1
.
60
1
.
70
−
2
.
30
−
0
.
40
0
.
55
−
0
.
95
−
0
.
20
0
.
15
0
.
65
Die Java-Methode
makeMapping()
der Klasse
ProjectiveMapping
(S.
402) ist eine Implementierung dieser Berechnung.
16.1.5 Bilineare Abbildung
Die
bilineare
Abbildung
x
=
a
1
x
+
a
2
y
+
a
3
xy
+
a
4
T
x
:
(16.30)
y
=
b
1
x
+
b
2
y
+
b
3
xy
+
b
4
T
y
:
weist wie die projektive Abbildung (Gl. 16.16) acht Parameter (
a
1
...a
4
,
b
1
...b
4
) auf und kann durch vier Punktpaare spezifiziert werden. Durch
