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16.1.1 Einfache Abbildungen
16.1
2D-Koordinaten-
transformation
Zu den einfachen Abbildungsfunktionen gehoren Verschiebung, Skalie-
rung, Scherung und Rotation:
Verschiebung
(Translation) um den Vektor (
d
x
,d
y
):
x
y
=
x
y
+
d
x
d
y
T
x
:
x
=
x
+
d
x
T
y
:
y
=
y
+
d
y
oder
(16.4)
Skalierung
(Streckung oder Stauchung) in
x
-oder
y
-Richtung um den
Faktor
s
x
bzw.
s
y
:
x
y
=
s
x
0
0
s
y
x
y
T
x
:
x
=
s
x
·
x
oder
·
(16.5)
T
y
:
y
=
s
y
·
y
Scherung
in
x
- oder
y
-Richtung um den Faktor
b
x
bzw.
b
y
(bei einer
Scherung in nur einer Richtung ist der jeweils andere Faktor null):
x
y
=
1
b
x
b
y
1
x
y
T
x
:
x
=
x
+
b
x
·
y
oder
·
(16.6)
T
y
:
y
=
y
+
b
y
·
x
Rotation
(Drehung) um den Winkel
α
(mit dem Koordinatenursprung
als Drehmittelpunkt):
T
x
:
x
=
x
·
cos
α
+
y
·
sin
α
oder
(16.7)
T
y
:
y
=
−
x
·
sin
α
+
y
·
cos
α
x
y
=
cos
α
sin
α
−
x
y
·
(16.8)
sin
α
cos
α
16.1.2 Homogene Koordinaten
Die Operationen in Gl. 16.4-16.8 bilden zusammen die wichtige Klasse
der a
nen Abbildungen (siehe Abschn. 16.1.3). Fur die Verknupfung
durch Hintereinanderausfuhrung ist es vorteilhaft, wenn alle Operatio-
nen jeweils als Matrixmultiplikation beschreibbar sind. Das ist bei der
Translation (Gl. 16.4), die eine Vektoraddition ist, nicht der Fall. Eine
mathematisch elegante Losung dafur sind
homogene Koordinaten
[23,
S. 204].
Bei homogenen Koordinaten wird jeder Vektor um eine zusatzliche
Komponente (
h
) erweitert, d. h. fur den zweidimensionalen Fall
⎛
⎞
⎛
⎞
=
x
y
x
y
h
hx
hy
h
⎝
⎠
=
⎝
⎠
.
x
→
x
ˆ
=
(16.9)
Jedes gewohnliche (kartesische) Koordinatenpaar
=(
x, y
) wird also
durch den dreidimensionalen homogenen Koordinatenvektor ˆ
x
x
=(
x, y, h
)
