Digital Signal Processing Reference
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dargestellt. Sofern die
h
-Komponente eines homogenen Vektors ˆ
x
un-
16
Geometrische
Bildoperationen
gleich null ist, erhalten wir durch
x
h
y
h
x
=
und
y
=
(16.10)
wiederum die zugehorigen kartesischen Koordinaten (
x, y
). Es gibt also
(durch unterschiedliche Werte fur
h
) unendlich viele Moglichkeiten, einen
bestimmten 2D-Punkt (
x, y
) in homogenen Koordinaten darzustellen.
Insbesondere reprasentieren daher zwei homogene Koordinaten ˆ
x
1
,
ˆ
x
2
denselben
Punkt in 2D, wenn sie Vielfache voneinander sind, d. h.
x
1
=
x
2
⇔
x
1
=
s
ˆ
·
x
2
ˆ
fur
s
=0
.
(16.11)
Beispielsweise sind die homogenen Koordinaten ˆ
x
1
=(3
,
2
,
1), ˆ
x
2
=
(6
,
4
,
2) und ˆ
x
3
=(30
,
20
,
10) alle aquivalent und entsprechen dem kar-
tesischen Punkt (3
,
2).
16.1.3 A
ne Abbildung (Dreipunkt-Abbildung)
Mithilfe der homogenen Koordinaten lasst sich nun jede Kombination
aus Translation, Skalierung und Rotation in der Form
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
x
y
h
x
y
1
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
001
x
y
1
⎝
⎠
=
⎝
⎠
=
⎝
⎠
·
⎝
⎠
(16.12)
darstellen. Man bezeichnet diese Transformation als
”
a
ne Abbildung“
mit den 6 Freiheitsgraden,
a
11
...a
23
,wobei
a
13
,a
23
(analog zu
d
x
,d
y
in
Gl. 16.4) die
Translation
und
a
11
,a
12
,a
21
,a
22
zusammen die
Skalierung
,
Scherung
und
Rotation
definieren. Durch die a
ne Abbildung werden
Geraden in Geraden, Dreiecke in Dreiecke und Rechtecke in Parallelo-
gramme uberfuhrt (Abb. 16.2). Charakteristisch fur die a
ne Abbildung
ist auch, dass das Abstandsverhaltnis zwischen den auf einer Geraden
liegenden Punkten durch die Abbildung unverandert bleibt.
Abbildung 16.2
Ane Abbildung. Durch die Spe-
zifikation von drei korrespondie-
renden Punktpaaren ist eine ane
Abbildung eindeutig bestimmt. Sie
kann beliebige Dreiecke ineinan-
der uberfuhren und bildet Geraden
in Geraden ab, parallele Geraden
bleiben parallel und die Abstands-
verhaltnisse zwischen Punkten auf
einer Geraden verandern sich nicht.
I
I
x
2
x
2
x
3
x
3
x
1
x
1
