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Diskrete
Fouriertransformation in 2D
Abbildung 14.7
Geometrische Korrektur des 2D-
Spektrums. Ausgangsbild (a) mit
dominanten, gerichteten Bildmustern,
die im zugehorigen Spektrum (b) als
deutliche Spitzen sichtbar werden.
Weil Bild und Spektrum nicht qua-
dratischsind(
M
=
N
), stimmen
die Orientierungen im ursprungli-
chen Spektrum (b) nicht mit denen
im Bild uberein. Erst wenn das Spek-
trum auf quadratische Form skaliert
ist (c), wird deutlich, dass die Zy-
linder dieses Motors (
V-Rod Engine
von Harley-Davidson) tatsachlich
im 60
◦
-Abstand angeordnet sind.
(a)
(b)
(c)
14.3.5 Auswirkungen der Periodizitat
Bei der Interpretation der 2D-DFT von Bildern muss man sich der Tat-
sache bewusst sein, dass die Signalfunktion bei der diskreten Fourier-
transformation implizit und in jeder Koordinatenrichtung als periodisch
angenommen wird. Die Ubergange an den Bildrandern, also von einer
Periode zur nachsten, gehoren daher genauso zum Signal wie jedes Ereig-
nis innerhalb des eigentlichen Bilds. Ist der Intensitatsunterschied zwi-
schen gegenuberliegenden Randpunkten groß (wie z. B. zwischen dem
oberen und dem unteren Rand einer Landschaftsaufnahme), dann fuhrt
dies zu abrupten Ubergangen in dem als periodisch angenommenen Si-
gnal. Steile Diskontinuitaten sind aber von hoher Bandbreite, d. h., die
zugehorige Signalenergie ist im Fourierspektrum uber viele Frequenzen
entlang der Koordinatenachsen des Abtastgitters verteilt (siehe Abb.
14.8). Diese breitbandige Energieverteilung entlang der Hauptachsen,
die bei realen Bildern haufig zu beobachten ist, kann dazu fuhren, dass
andere, signalrelevante Komponenten vollig uberdeckt werden.
14.3.6
Windowing
Eine Losung dieses Problems besteht in der Multiplikation der Bildfunk-
tion
g
(
u, v
)=
I
(
u, v
) mit einer geeigneten Fensterfunktion (
windowing
function
)
w
(
u, v
)inderForm
g
(
u, v
)=
g
(
u, v
)
·
w
(
u, v
)
,
fur 0
v<N
,
vor
der Berechnung der DFT. Die Fen-
sterfunktion
w
(
u, v
) soll zu den Bildrandern hin moglichst kontinuierlich
≤
u<M
,0
≤
