Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
2
M
14.3
Frequenzen und
Orientierung in 2D
n
Abbildung 14.6
Maximale Signalfrequenzen und Ali-
asing in 2D. Der Rand des
M × N
großen 2D-Spektrums (inneres Recht-
eck) markiert die maximal zulassigen
Signalfrequenzen fur jede Richtung.
Das außere Rechteck bezeichnet die
Lage der effektiven Abtastfrequenz,
das ist jeweils das Doppelte der ma-
ximalen Signalfrequenz fur dieselbe
Richtung. Die Signalkomponente
mit der Spektralposition
a
liegt in-
nerhalb des maximal darstellbaren
Frequenzbereichs und verursacht da-
her kein
Aliasing
. Im Gegensatz dazu
ist die Komponente
b
außerhalb des
zulassigen Bereichs und wird daher
an der Grenzlinie auf eine Position
b
(
”
Alias“) mit niedrigeren Frequenzen
gespiegelt.
M
2
M
2
a
N
2
2
N
m
b
N
2
b
max. Signalfrequenz
effektive Abtastfrequenz
wobei
ψ
(
m,n
)
fur
m
=
n
=0naturlich unbestimmt ist.
1
Umgekehrt wird
ein zweidimensionales Sinusoid mit effektiver Frequenz
f
und Richtung
ψ
durch die Spektralkoordinaten
f
(
m, n
)=
±
·
(
M
cos
ψ, N
sin
ψ
)
(14.13)
reprasentiert, wie bereits in Abb. 14.5 dargestellt.
14.3.4 Geometrische Korrektur des 2D-Spektrums
Aus Gl.14.13 ergibt sich, dass im speziellen Fall einer Sinus-/Kosinuswelle
mit Orientierung
ψ
=45
◦
die zugehorigen Spektralkoe
zienten an den
Koordinaten
1
+
2
(
m, n
)=
±
(
λM, λN
) ur
−
2
≤
λ
≤
(14.14)
(s. Gl. 14.11) zu finden sind, d. h. auf der Diagonale des Spektrums. So-
fern das Bild (und damit auch das Spektrum) nicht quadratisch ist (d. h.
M
=
N
), sind die Richtungswinkel im Bild und im Spektrum nicht iden-
tisch, fallen aber in Richtung der Koordinatenachsen jeweils zusammen.
Dies bedeutet, dass bei der Rotation eines Bildmusters um einen Winkel
α
das Spektrum zwar in der gleichen Richtung gedreht wird, aber i. Allg.
nicht
um denselben Winkel
α
!
Um Orientierungen und Drehwinkel im Bild und im Spektrum iden-
tisch erscheinen zu lassen, genugt es, das Spektrum auf
quadratische
Form zu skalieren, sodass die spektrale Auflosung entlang beider Fre-
quenzachsen die gleiche ist (wie in Abb. 14.7 gezeigt).
1
arctan
2
(
y, x
) in Gl. 14.12 steht fur die inverse Tangensfunktion tan
−
1
(
y/x
)
(s. auch Anhang B.1.6).
