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Richtung durchlauft. Die effektive Frequenz entlang der Wellenrichtung
kann aus dem eindimensionalen Fall (Gl. 13.54) abgeleitet werden als
14
Diskrete
Fouriertransformation in 2D
m
M
2
+
n
N
2
1
τ
f
(
m,n
)
=
,
(14.9)
wobei das gleiche raumliche Abtastintervall fur die
x
- und
y
-Richtung
angenommen wird, d. h.
τ
=
τ
x
=
τ
y
. Die maximale Signalfrequenz ent-
lang der
x
- und
y
-Achse betragt daher
2
2
=
f
(
±
2
,
0)
=
f
(0
,±
2
)
=
1
τ
1
2
τ
=
2
f
s
,
(14.10)
1
wobei
f
s
=
τ
die Abtastfrequenz bezeichnet. Man beachte, dass die
effektive Frequenz fur die Eckpunkte des Spektrums, also
2
2
+
2
2
=
f
(
±
2
,±
2
)
=
1
τ
1
√
2
·τ
1
√
2
f
s
,
(14.11)
um den Faktor
√
2
hoher
ist als entlang der beiden Koordinatenachsen
(Gl. 14.10).
=
14.3.2 Frequenzlimits und Aliasing in 2D
Abb.14.6 illustriert den in Gl.14.10 und 14.11 beschriebenen Zusammen-
hang. Die maximal zulassigen Signalfrequenzen in jeder Richtung liegen
am Rand des zentrierten,
M
N
großen 2D-Spektrums. Jedes Signal mit
Komponenten ausschließlich innerhalb dieses Bereichs entspricht den Re-
geln des Abtasttheorems und kann ohne Aliasing rekonstruiert werden.
Jede Spektralkomponente außerhalb dieser Grenze wird an dieser Grenze
zum Ursprung hin in den inneren Bereich des Spektrums (also auf nied-
rigere Frequenzen) gespiegelt und verursacht daher sichtbares
Aliasing
im rekonstruierten Bild.
Offensichtlich ist die effektive Abtastfrequenz (Gl. 14.9) am niedrig-
sten in Richtung der beiden Koordinatenachsen des Abtastgitters. Um
sicherzustellen, dass ein bestimmtes Bildmuster in jeder Lage (Rotation)
ohne Aliasing abgebildet wird, muss die effektive Signalfrequenz
×
f
des
f
2
1
Bildmusters in jeder Richtung auf
2
τ
begrenzt sein, wiederum un-
ter der Annahme, dass das Abtastintervall
τ
in beiden Achsenrichtungen
identisch ist.
=
14.3.3 Orientierung
Die raumliche Richtung einer zweidimensionalen Kosinus- oder Sinus-
welle mit den Spektralkoordinaten
m, n
(0
≤
m<M
,0
≤
n<N
)
ist
ψ
(
m,n
)
=arctan
2
N
,
M
=arctan
2
nM, mN
,
(14.12)
