Digital Signal Processing Reference
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der Grundperiode des diskreten Signals (das als periodisch angenommen
wird) mit der Periodenlange
Mτ
und damit einer
Frequenz
13.3
Die diskrete
Fouriertransformation (DFT)
1
Mτ
.
f
1
=
(13.54)
Im Allgemeinen entspricht die Wellenzahl
m
eines diskreten Spektrums
der realen Frequenz
1
Mτ
=
m
f
m
=
m
·
f
1
(13.55)
fur 0
≤
m<M
oder - als Kreisfrequenz ausgedruckt -
ω
m
=2
πf
m
=
m
2
π
Mτ
=
m
·
ω
1
.
(13.56)
Die Abtastfrequenz selbst, also
f
s
=1
/τ
=
M
f
1
, entspricht offensicht-
lich der Wellenzahl
m
s
=
M
. Die maximale Wellenzahl, die im diskreten
Spektrum ohne Aliasing dargestellt werden kann, ist
·
M
2
m
s
2
m
max
=
=
,
(13.57)
also wie erwartet die Halfte der Wellenzahl der Abtastfrequenz
m
s
.
Beispiel 1: Zeitsignal
Nehmen wir beispielsweise an,
g
(
u
) ist ein Zeitsignal (z. B. ein diskretes
Tonsignal) bestehend aus
M
= 500 Abtastwerten im Intervall
τ
=1ms=
10
−
3
s. Die Abtastfrequenz ist daher
f
s
=1
/τ
= 1000 Hertz (Zyklen
pro Sekunde) und die Gesamtdauer (Grundperiode) des Signals betragt
Mτ
=0
.
5s.
Aus Gl. 13.54 berechnen wir die Grundfrequenz des als periodisch
angenommenen Signals als
f
1
=
1
500
·
10
−
3
1
0
.
5
= 2 Hertz. Die Wellenzahl
m
= 2 entspricht in diesem Fall einer realen Frequenz
f
2
=2
f
1
=4Hertz,
f
3
=6Hertz,usw.Die
maximale
Frequenz, die durch dieses diskrete
Signal ohne Aliasing dargestellt werden kann, ist
f
max
=
=
M
1
2
τ
2
f
1
=
=
500 Hertz, also exakt die Halfte der Abtastfrequenz
f
s
.
Beispiel 2: Signal im Ortsraum
Die gleichen Verhaltnisse treffen auch fur raumliche Signale zu, wenn-
gleich mit anderen Maßeinheiten. Angenommen wir hatten ein eindi-
mensionales Druckraster mit einer Auflosung (d. h. raumlichen Abtast-
frequenz) von 120 Punkten pro cm, das entspricht etwa 300
dots per inch
(dpi) und einer Signallange von
M
= 1800 Abtastwerten. Dies entspricht
einem raumlichen Abtastintervall von
τ
=1
/
120 cm
≈
83
µ
m und einer
Gesamtstrecke des Signals von (1800
/
120) cm = 15 cm.
Die Grundfrequenz dieses (wiederum als periodisch angenommenen)
Signals ist demnach
f
1
=
1
15
, gemessen in Zyklen pro cm. Aus der Ab-
tastfrequenz von
f
s
= 120 Zyklen pro cm ergibt sich eine maximale
Signalfrequenz
f
max
=
f
2
= 60 Zyklen pro cm und dies entspricht auch
der feinsten Struktur, die mit diesem Druckraster aufgelost werden kann.
