Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
13.3.5 Das Leistungsspektrum
13
Einfuhrung in
Spektraltechniken
Der Betrag des komplexwertigen Fourierspektrums
|G
(
m
)
|
=
G
Re
(
m
)+
G
Im
(
m
)
(13.58)
wird als
Leistungsspektrum
(
”
power spectrum“) eines Signals bezeichnet.
Es beschreibt die Energie (Leistung), die die einzelnen Frequenzkompo-
nenten des Spektrums zum Signal beitragen. Das Leistungsspektrum ist
reellwertig und positiv und wird daher haufig zur grafischen Darstellung
der Fouriertransformierten verwendet (s. auch Abschn. 14.2).
Da die Phaseninformation im Leistungsspektrum verloren geht, kann
das ursprungliche Signal aus dem Leistungsspektrum allein nicht rekon-
struiert werden. Das Leistungsspektrum ist jedoch - genau
wegen
der
fehlenden Phaseninformation - unbeeinflusst von
Verschiebungen
des zu-
gehorigen Signals und eignet sich daher zum Vergleich von Signalen. Ge-
nauer gesagt ist das Leistungsspektrum eines zyklisch verschobenen Sig-
nals identisch zum Leistungsspektrum des ursprunglichen Signals, d. h.,
fur ein diskretes, periodisches Signal
g
1
(
u
) der Lange
M
und das um den
Abstand
d
∈
Z
zyklisch verschobene Signal
g
2
(
u
)=
g
1
(
u
−
d
)
(13.59)
gilt fur die zugehorigen Leistungsspektra
|
G
2
(
m
)
|
=
|
G
1
(
m
)
|
,
(13.60)
obwohl die komplexwertigen Fourierspektra
G
1
(
m
) und
G
2
(
m
)selbst
i. Allg. verschieden sind. Aufgrund der Symmetrieeigenschaft des Fourier-
spektrums (Gl. 13.53) gilt uberdies
|
G
(
m
)
|
=
|
G
(
−
m
)
|
(13.61)
fur reellwertige Signale
g
(
u
)
∈
R
.
13.4 Implementierung der DFT
13.4.1 Direkte Implementierung
Auf Basis der Definitionen in Gl. 13.47 und Gl. 13.48 kann die DFT auf
direktem Weg implementiert werden, wie in Prog. 13.1 gezeigt. Die dort
angefuhrte Methode
DFT()
transformiert einen Signalvektor von beliebi-
ger Lange
M
(nicht notwendigerweise eine Potenz von 2) und benotigt
dafur etwa
M
2
Operationen (Additionen und Multiplikationen), d. h.,
die Zeitkomplexitat dieses DFT-Algorithmus betragt
(
M
2
).
O
