Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
g
1
(
x
)+
g
2
(
x
)
G
1
(
ω
)+
G
2
(
ω
)
.
(13.23)
13
Einfuhrung in
Spektraltechniken
Ahnlichkeit
Wird die ursprungliche Funktion
g
(
x
) in der Zeit oder im Raum ska-
liert, so tritt der jeweils umgekehrte Effekt im zugehorigen Fourier-
spektrum auf. Wie wir bereits in Abschn. 13.1.5 beobachten konnten,
fuhrt insbesondere eine Stauchung des Signals um einen Faktor
s
,d.h.
g
(
x
)
g
(
sx
), zu einer entsprechenden Streckung der Fouriertransfor-
mierten, also
→
G
s
.
(13.24)
Umgekehrt wird naturlich das Signal gestaucht, wenn das zugehorige
Spektrum gestreckt wird.
1
g
(
sx
)
|s|
·
Verschiebungseigenschaft
Wird die ursprungliche Funktion
g
(
x
) um eine Distanz
d
entlang der
Koordinatenachse verschoben, also
g
(
x
)
d
), so multipliziert sich
dadurch das Fourierspektrum um einen von
ω
abhangigen komplexen
Wert
e
−
i
ωd
:
→
g
(
x
−
e
−
i
ωd
G
(
ω
)
.
(13.25)
Da der Faktor
e
−
i
ωd
auf dem Einheitskreis liegt, fuhrt die Multiplikation
(vgl. Gl. 13.13) nur zu einer Phasenverschiebung der Spektralwerte, also
einer Umverteilung zwischen Real- und Imaginarteil, ohne dabei den
Betrag
g
(
x
−
d
)
·
zu verandern. Der Winkel dieser Phasenverschiebung (
ωd
)
andert sich offensichtlich linear mit der Kreisfrequenz
ω
.
|
G
(
ω
)
|
Faltungseigenschaft
Der fur uns vielleicht interessanteste Aspekt der Fouriertransformation
ergibt sich aus ihrem Verhaltnis zur linearen Faltung (Abschn. 6.3.1).
Angenommen, wir hatten zwei Funktionen
g
(
x
) und
h
(
x
) sowie die zu-
gehorigen Fouriertransformierten
G
(
ω
)bzw.
H
(
ω
). Unterziehen wir diese
Funktionen einer linearen Faltung, also
g
(
x
)
h
(
x
), dann ist die Fou-
riertransformierte des Resultats gleich dem (punktweisen)
Produkt
der
einzelnen Fouriertransformierten
G
(
ω
) und
H
(
ω
):
∗
g
(
x
)
∗
h
(
x
)
G
(
ω
)
·
H
(
ω
)
.
(13.26)
Aufgrund der Dualitat von Orts- und Spektralraum gilt das Gleiche auch
in umgekehrter Richtung, d. h., eine punktweise Multiplikation der Si-
gnale entspricht einer linearen Faltung der zugehorigen Fouriertransfor-
mierten:
H
(
ω
)
.
(13.27)
Eine Multiplikation der Funktionen in
einem
Raum (Orts- oder Spek-
tralraum) entspricht also einer linearen Faltung der zugehorigen Trans-
formierten im jeweils
anderen
Raum.
g
(
x
)
·
h
(
x
)
G
(
ω
)
∗
