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13.2 Ubergang zu diskreten Signalen
13.2
Ubergang zu diskreten
Signalen
Die Definition der kontinuierlichen Fouriertransformation ist fur die nu-
merische Berechnung am Computer nicht unmittelbar geeignet. We-
der konnen beliebige kontinuierliche (und moglicherweise unendliche)
Funktionen dargestellt, noch konnen die dafur erforderlichen Integrale
tatsachlich berechnet werden. In der Praxis liegen auch immer
diskrete
Daten vor und wir benotigen daher eine Version der Fouriertransforma-
tion, in der sowohl das Signal wie auch das zugehorige Spektrum als
endliche Vektoren dargestellt werden - die
”
diskrete“ Fouriertransfor-
mation. Zuvor wollen wir jedoch unser bisheriges Wissen verwenden, um
dem Vorgang der Diskretisierung von Signalen etwas genauer auf den
Grund zu gehen.
13.2.1 Abtastung
Wir betrachten zunachst die Frage, wie eine kontinuierliche Funktion
uberhaupt in eine diskrete Funktion umgewandelt werden kann. Dieser
Vorgang wird als
Abtastung
(Sampling) bezeichnet, also die Entnahme
von Abtastwerten der zunachst kontinuierlichen Funktion an bestimm-
ten Punkten in der Zeit oder im Raum, ublicherweise in regelmaßigen
Abstanden. Um diesen Vorgang in einfacher Weise auch formal beschrei-
ben zu konnen, benotigen wir ein unscheinbares, aber wichtiges Stuck
aus der mathematischen Werkzeugkiste.
Die Impulsfunktion
δ
(
x
)
Die Impulsfunktion (auch
Delta
-oder
Dirac
-Funktion) ist uns bereits im
Zusammenhang mit der Impulsantwort von Filtern (Abschn. 6.3.4) so-
wie in den Fouriertransformierten der Kosinus- und Sinusfunktion (Abb.
13.3) begegnet. Diese Funktion, die einen kontinuierlichen, “idealen” Im-
puls modelliert, ist in mehrfacher Hinsicht ungewohnlich: Ihr Wert ist
uberall null mit Ausnahme des Ursprungs, wo ihr Wert zwar ungleich
null, aber undefiniert ist, und außerdem ist ihr Integral eins, also
∞
δ
(
x
)=0 fur
x
= 0
und
δ
(
x
)d
x
=1
.
(13.28)
−∞
Man kann sich
δ
(
x
) als einzelnen Puls an der Position null vorstellen, der
unendlich schmal ist, aber dennoch endliche Energie (1) aufweist. Bemer-
kenswert ist auch das Verhalten der Impulsfunktion bei einer Skalierung
in der Zeit- oder Raumachse, also
δ
(
x
)
→
δ
(
sx
), wofur gilt
δ
(
sx
)=
1
|
·
δ
(
x
) ur
s
=0
.
(13.29)
s
|
Obwohl
δ
(
x
) in der physischen Realitat nicht existiert und eigentlich auch
nicht gezeichnet werden kann (die entsprechenden Kurven in Abb. 13.3
dienen nur zur Illustration), ist diese Funktion - wie im Folgenden gezeigt
- ein wichtiges Element zur formalen Beschreibung des Abtastvorgangs.
