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Funktion
Transformationspaar g
(
x
)
G
(
ω
)
Abb.
13.1
Die
Fouriertransformation
Kosinusfunktion
mit Frequenz
ω
0
g
(
x
)=cos(
ω
0
x
)
13.3 (a,c)
G
(
ω
)=
p
π
2
·
`
δ
(
ω−ω
0
)+
δ
(
ω
+
ω
0
)
´
Tabelle 13.1
Fourier-Transformationspaare fur aus-
gewahlte Funktionen.
δ
() bezeichnet
die Impuls- oder Dirac-Funktion (s.
Abschn. 13.2.1).
Sinusfunktion
mit
Frequenz
ω
0
g
(
x
)=sin(
ω
0
x
)
13.3 (b,d)
G
(
ω
)=i
p
π
2
·
`
δ
(
ω−ω
0
)
− δ
(
ω
+
ω
0
)
´
e
−
x
2
g
(
x
)=
σ
Gauß-Funktion
der
Breite
σ
·
13.4 (a,b)
2
σ
2
G
(
ω
)=
e
−
σ
2
ω
2
2
g
(
x
)=
Π
b
(
x
)=
j
1
|x|≤b
0else
Rechteckpuls
der
Breite 2
b
13.4 (c,d)
G
(
ω
)=
2
b
sin(
bω
)
√
2
πω
Die Fouriertransformation eines
Rechteckpulses
(Abb. 13.4 (c,d))
ergibt die charakteristische
”
Sinc“-Funktion der Form sin(
x
)
/x
,diemit
zunehmenden Frequenzen nur langsam ausklingt und damit sichtbar
macht, dass im ursprunglichen Rechtecksignal Komponenten enthalten
sind, die uber einen großen Bereich von Frequenzen verteilt sind. Recht-
eckpulse weisen also grundsatzlich ein sehr breites Frequenzspektrum
auf.
13.1.6 Wichtige Eigenschaften der Fouriertransformation
Symmetrie
Das Fourierspektrum erstreckt sich uber positive und negative Frequen-
zen und ist, obwohl im Prinzip beliebige komplexe Funktionen auftreten
konnen, in vielen Fallen um den Ursprung symmetrisch (s. beispiels-
weise [16, S. 178]). Insbesondere ist die Fouriertransformierte eines re-
ellwertigen Signals
g
(
x
)
∈
R
eine so genannte
hermitesche
Funktion,
d. h.
G
(
ω
)=
G
∗
(
ω
)
,
(13.21)
wobei
G
∗
den konjugiert komplexen Wert von
G
bezeichnet (s. auch
Anhang 1.2).
−
Linearitat
Die Fouriertransformation ist eine
lineare
Operation, sodass etwa die
Multiplikation des Signals mit einer beliebigen Konstanten
a
∈
C
in
gleicher Weise auch das zugehorige Spektrum verandert, d. h.
a
·
g
(
x
)
a
·
G
(
ω
)
.
(13.22)
Daruber hinaus bedingt die Linearitat, dass die Transformation der
Summe zweier Signale
g
(
x
)=
g
1
(
x
)+
g
2
(
x
) identisch ist zur Summe
der zugehorigen Fouriertransformierten
G
1
(
ω
) und
G
2
(
ω
):
