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Auch fur den Fall, dass eine der betroffenen Funktionen (
g
(
x
)bzw.
G
(
ω
)) reellwertig ist (was fur konkrete Signale
g
(
x
) ublicherweise zu-
trifft), ist die andere Funktion i. Allg. komplexwertig. Man beachte auch,
dass die Vorwartstransformation
13
Einfuhrung in
Spektraltechniken
F
(Gl. 13.19) und die inverse Transfor-
F
−
1
(Gl. 13.20) bis auf das Vorzeichen des Exponenten vollig
symmetrisch sind.
6
Ortsraum
und
Spektralraum
sind somit zueinander
”
duale“ Darstellungsformen, die sich grundsatzlich nicht unterscheiden.
mation
13.1.5 Fourier-Transformationspaare
Zwischen einer Funktion
g
(
x
) und dem zugehorigen Fourierspektrum
G
(
ω
) besteht ein eindeutiger Zusammenhang in beiden Richtungen: Das
Fourierspektrum eines Signals ist eindeutig und zu einem bestimmten
Spektrum gibt es nur ein zugehoriges Signal - die beiden Funktionen
g
(
x
) und
G
(
ω
) bilden ein sog.
”
Transformationspaar“,
g
(
x
)
G
(
ω
)
.
Tabelle 13.1 zeigt einige ausgewahlte Transformationspaare analytischer
Funktionen, die in den Abbildungen 13.3 und 13.4 auch grafisch darge-
stellt sind.
So besteht etwa das Fourierspektrum einer
Kosinusfunktion
cos(
ω
0
x
)
aus zwei getrennten, dunnen Pulsen, die symmetrisch im Abstand von
ω
0
vom Ursprung angeordnet sind (Abb. 13.3 (a, c)). Dies entspricht intuitiv
auch unserer physischen Vorstellung eines Spektrums, etwa in Bezug auf
einen vollig reinen, monophonen Ton in der Akustik oder der Haarlinie,
die eine extrem reine Farbe in einem optischen Spektrum hinterlasst.
Bei steigender Frequenz
ω
0
x
bewegen sich die resultierenden Pulse im
Spektrum vom Ursprung weg. Man beachte, dass das Spektrum der Ko-
sinusfunktion reellwertig ist, der Imaginarteil ist null. Gleiches gilt auch
fur die Sinusfunktion (Abb. 13.3 (b, d)), mit dem Unterschied, dass hier
die Pulse nur im Imaginarteil des Spektrums und mit unterschiedlichen
Vorzeichen auftreten. In diesem Fall ist also der Realteil des Spektrums
null.
Interessant ist auch das Verhalten der
Gauß-Funktion
(Abb.13.4 (a,
b)), deren Fourierspektrum wiederum eine Gauß-Funktion ist. Die Gauß-
Funktion ist damit eine von wenigen Funktionen, die im Ortsraum
und
im Spektralraum denselben Funktionstyp aufweisen. Im Fall der Gauß-
Funktion ist auch deutlich zu erkennen, dass eine
Dehnung
des Signals
im Ortsraum zu einer
Stauchung
der Funktion im Spektralraum fuhrt
und umgekehrt!
6
Es gibt mehrere gangige Definitionen der Fouriertransformation, die sich
u. a. durch den Faktor vor dem Integral und durch die Vorzeichen der Expo-
nenten in der Vorwarts- und Ruckwartstransformation unterscheiden. Alle
diese Versionen sind grundsatzlich aquivalent. Die hier gezeigte, symmetri-
sche Version verwendet den gleichen Faktor (1
/
√
2
π
)fur beide Richtungen
der Transformation.
