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9
Detektion einfacher Kurven
y
L
1
Abbildung 9.4
Geradenbundel durch einen Bild-
punkt. Fur alle moglichen Gera-
den
L
j
durch den Punkt
p
0
=
(
x
0
,y
0
) gilt
y
0
=
k
j
x
0
+
d
j
fur geeignete Parameter
k
j
,d
j
.
p
0
L
2
L
3
L
4
x
einzelnen, gegebenen Bildpunkt laufen. Jede Gerade
L
j
, die durch einen
Punkt
p
0
=(
x
0
,y
0
)lauft, muss die Gleichung
L
j
:
y
0
=
k
j
x
0
+
d
j
(9.3)
fur geeignete Werte von
k
j
,d
j
erfullen. Die Menge der Losungen fur
k
j
,d
j
in Gl. 9.3 entspricht einem Bundel von unendlich vielen Geraden, die alle
durch den gegebenen Punkt
p
0
laufen (Abb. 9.4). Fur ein bestimmtes
k
j
ergibt sich die zugehorige Losung fur
d
j
aus Gl. 9.3 als
d
j
=
−
x
0
k
j
+
y
0
,
(9.4)
also wiederum eine lineare Funktion (Gerade), wobei nun
k
j
,d
j
die
Variablen
und
x
0
,y
0
die (konstanten)
Parameter
der Funktion sind.
Die Losungsmenge
von Gl. 9.4 beschreibt die Parameter aller
moglichen Geraden
L
j
, die durch einen Bildpunkt
{
(
k
j
,d
j
)
}
p
0
=(
x
0
,y
0
)fuhren.
Fur einen
beliebigen
Bildpunkt
p
i
=(
x
i
,y
i
) entspricht Gl. 9.4 einer
Geraden
M
i
:
d
=
−
x
i
k
+
y
i
(9.5)
mit den Parametern
x
i
,y
i
im so genannten
Parameterraum
(auch
”
Hough-Raum“ genannt), der durch die Koordinaten
k, d
aufgespannt
wird. Der Zusammenhang zwischen dem Bildraum und dem Parameter-
raum lasst sich folgendermaßen zusammenfassen:
−
Bildraum
(
x, y
)
Parameterraum
(
k, d
)
Punkt
p
i
=(
x
i
,y
i
)
M
i
:
d
=
−
x
i
k
+
y
i
Gerade
Gerade
L
j
:
y
=
k
j
x
+
d
j
q
j
=(
k
j
,d
j
)
Punkt
Jedem Punkt
p
i
und seinem zugehorigen Geradenbuschel im Bildraum
entspricht also exakt eine Gerade
M
i
im Parameterraum. Am meis-
ten sind wir jedoch an jenen Stellen interessiert, an denen sich Gera-
den im Parameterraum
schneiden
. Wie am Beispiel in Abb. 9.5 gezeigt,
schneiden sich die Geraden
M
1
und
M
2
an der Position
q
12
=(
k
12
,d
12
)
im Parameterraum, die den Parametern jener Geraden im Bildraum ent-
spricht, die sowohl durch den Punkt
p
1
als auch durch den Punkt
p
2
