Cryptography Reference
In-Depth Information
Axiom K2:
Einselement
Es existiert ein Einselement, so dass für ein beliebiges Element des Körpers
gilt:
∀i. a
i
·
1=1
· a
i
.
Axiom K3:
Inverses Element
Jedes von Null verschiedene Element eines Körpers besitzt ein multiplikativ
Inverses:
∀i. a
i
· a
−
1
=
a
−
1
i
· a
i
=1
mit
a
i
=0
.
Die
von Null verschiedenen
Elemente eine Körpers genügen allen Gruppenaxio-
men bzgl. der Multiplikation und bilden daher eine multiplikative Gruppe.
i
Vektoren und Vektorräume
Einen
n
-Tupel
(
a
1
a
2
... a
n
)
, der aus der geordneten Menge von
n
Elemen-
ten eines beliebigen Körpers
K
besteht, bezeichnet man als
Vektor
v
:
v
=
(
a
1
a
2
... a
n
)
.
Man sagt, ein solcher
n
-stelliger Vektor hat die Länge
n
.
Eine nichtleere Menge
V
=
{
, deren Elemente Vektoren
v
i
sind, heißt
ein
linearer Vektorraum
über einem beliebigen Körper
K
. Dessen Elemente
a
ij
werden Skalare genannt, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind.
Axiom V1:
Abelsche Gruppe bzgl. der Addition
Die Menge
V
ist eine abelsche Gruppe bzgl. der Addition.
Axiom V2:
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Zu jedem Vektor
v
j
und einem beliebigen Körperelement
a
i
ist ein Produkt
a
i
v
j
definiert, welches wieder einen Vektor darstellt:
a
i
v
j
=
a
i
(
a
j
1
a
j
2
... a
jn
)=(
a
i
a
j
1
a
i
a
j
2
... a
i
a
jn
)
=(
a
k
1
a
k
2
... a
kn
)=
v
k
.
Axiom V3:
Distributives Gesetz der Multiplikation mit einem Skalar bzgl.
der vektoriellen Addition
Sind
v
j
und
v
k
Vektoren aus
V
und ist
a
i
ein Skalar, dann gilt:
a
i
(
v
j
+
v
k
)=
a
i
v
j
+
a
i
v
k
.
Axiom V4:
Distributives Gesetz der Multiplikation mit einem Skalar bzgl.
der skalaren Addition
Ist
v
k
ein Vektor und sind
a
i
und
a
j
Skalare, dann gilt:
(
a
i
+
a
j
)
v
k
=
a
i
v
k
+
a
j
v
k
.
Axiom V5:
Assoziatives Gesetz der Multiplikation mit einem Skalar
Ist
v
k
ein Vektor und sind
a
i
und
a
j
Skalare, dann gilt:
(
a
i
a
j
)
v
k
=
a
i
(
a
j
v
k
)
.
v
1
,v
2
, ...
}
