Cryptography Reference
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Axiom G4:
Inverses Element
Zu jedem Gruppenelement existiert ein inverses Element. Die Verknüpfung
beider Elemente liefert das neutrale Element. Bei einer additiven Gruppe be-
zeichnet man das zu
a
i
inverse Element
−a
i
:
∀i. a
i
+(
−a
i
)=(
−a
i
)+
a
i
=0;
bei einer multiplikativen Gruppe mit
a
−
1
i
:
∀i. a
i
· a
−
1
i
=
a
−
1
i
· a
i
=1
.
Gilt zusätzlich zu den Gruppenaxiomen das kommutative Gesetz
bei einer additiven Gruppe
∀
i, j. a
i
+
a
j
=
a
j
+
a
i
,
bei einer multiplikativen Gruppe
∀
i, j. a
i
·
a
j
=
a
j
·
a
i
,
dann heißt die Gruppe
kommutativ
oder
abelsch
.
Ring
Ein Ring
R
ist eine algebraische Struktur, für dessen Elemente
zwei
Verknüp-
fungsvorschriften definiert sind, die Addition
und
die Multiplikation. Die fol-
genden Axiome müssen erfüllt sein.
Axiom R1:
Abelsche Gruppe bzgl. der Addition
Die Elemente aus
A
bilden eine Gruppe bzgl. der Addition. Die Gruppe ist
abelsch.
Axiom R2:
Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation
Das Produkt zweier beliebiger Elemente aus
A
existiert und ist wieder ein Ele-
ment aus
A
:
∀i, j. a
i
· a
j
=
a
k
.
Axiom R3:
Assoziatives Gesetz bzgl. der Multiplikation
Für drei beliebige Elemente aus
A
gilt:
∀
a
k
)
.
Axiom R4:
Distributives Gesetz
Für drei beliebige Elemente aus
A
gilt:
a
i
·
(
a
j
+
a
k
)=
a
i
· a
j
+
a
i
· a
k
und
(
a
i
+
a
j
)
· a
k
=
a
i
· a
k
+
a
j
· a
k
.
Gilt für beliebige Elemente eines Ringes zusätzlich das kommutative Gesetz
bzgl. der Multiplikation, d.h.
i, j, k.
(
a
i
·
a
j
)
·
a
k
=
a
i
·
(
a
j
·
∀
i, j. a
i
·
a
j
=
a
j
·
a
i
,
dann heißt der Ring kom-
mutativ.
Körper
Ein Körper
K
erfüllt die Axiome K1 bis K3.
Axiom K1:
Kommutativer Ring
Die Elemente eines Körpers bilden einen kommutativen Ring.
