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Algebraische Strukturen und
Vektorräume
Algebraische Strukturen
Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere endliche oder unendliche Men-
ge von Elementen mit einer (oder mehreren) darin definierten Operation(en)
samt den dazugehörigen Verknüpfungsvorschriften.
Gruppe
Eine Gruppe
G
ist eine algebraische Struktur, bei der
genau eine
Verknüp-
fungsvorschrift definiert ist, welche den Axiomen G1 bis G4 genügt. Die Men-
ge der Elemente sei
A
=
{
. Die Verknüpfungsvorschrift für die
Elemente von
A
wird i. Allg. durch plus (+) oder mal (
a
1
,a
2
,a
3
, ...
}
) dargestellt und als
Addition bzw. Multiplikation bezeichnet, obgleich sie nicht der gewöhnlichen
Addition und Multiplikation von Zahlen zu entsprechen braucht.
Axiom G1:
Abgeschlossenheit
Wird die Verknüpfungsvorschrift auf zwei beliebige Elemente der Gruppe an-
gewendet, dann ist das Ergebnis definiert und wieder ein Element der Gruppe:
Additive Gruppe (Summe)
·
∀
i, j. a
i
+
a
j
=
a
k
,
Multiplikative Gruppe (Produkt)
∀
i, j. a
i
·
a
j
=
a
k
.
Axiom G2:
Assoziatives Gesetz
Für drei beliebige Elemente gilt:
bei einer additiven Gruppe
∀
i, j, k.
(
a
i
+
a
j
)+
a
k
=
a
i
+(
a
j
+
a
k
)
,
bei einer multiplikativen Gruppe
∀
i, j, k.
(
a
i
·
a
j
)
·
a
k
=
a
i
·
(
a
j
·
a
k
)
.
Axiom G3:
Neutrales Element
In einer Gruppe gibt es genau ein neutrales Element. Bei einer additiven Grup-
pe ist dies das Nullelement:
∀i. a
i
+0=0+
a
i
=
a
i
;
bei einer multiplikativen Gruppe ist dies das Einselement:
∀i. a
i
·
1=1
· a
i
=
a
i
.
