Cryptography Reference
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Beispiel 9.2.5
Serielle Verkettung eines
(15
,
9
,d
min,
1
=7)
RS-Kodes über
GF
(2
4
)
mit einem
(7
,
4
,d
min,
2
=3)
HAMMING-Kode (ohne Interleaving):
Aus einem Quellenkode der Länge
l
1
=9
Elemente werden zunächst die
k
1
=6
Kontrollelemente des äußeren RS-Kodes gebildet. Danach wird im inneren Ko-
dierer jedes RS-Element zu je
4
Bit
um
3
Kontrollbit erweitert.
Der Minimalabstand ist
d
min
≥
d
1
·
d
2
=21
.
Es können damit im Kodeblock
n
=
n
1
·
n
2
= 105
Bit
beispielsweise Einzelfehler in den inneren Empfangsfol-
gen und/oder Bündelfehler bis zu einer Länge von
f
k,
1
·
n
2
=21
Bit
korrigiert
werden.
Die kodierten Nachrichten sollen auf einem SBK mit
p
s
=10
−
2
übertragen
werden. Wie groß ist die verbleibende Restfehlerwahrscheinlichkeit nach der
Dekodierung mit Fehlerkorrektur?
Lösung:
Nach der Fehlerkorrektur der inneren Empfangswörter bleibt eine Restfehler-
wahrscheinlichkeit gemäß Gl. (9.26) von
p
R
(7)
korr,
2
=1
−
(1
−
0
,
01)
7
−
1
0
,
01 (1
−
0
,
01)
6
=2
,
03
·
10
−
3
.
Mit
p
e
=
p
R
(7)
korr,
2
ergibt sich für den äußeren und damit für den verketteten
Kode entsprechend Gl. (9.27)
p
R
(15)
korr,
1
=1
−
0
,
99797
15
−
1
1
0
,
00203
·
0
,
99797
14
−
1
2
0
,
00203
2
·
0
,
99797
13
−
1
3
0
,
00203
3
·
0
,
99797
12
=2
,
28
·
10
−
8
.
Diese Restfehlerwahrscheinlichkeit wird i. Allg. zu akzeptieren sein. Man be-
achte aber, dass dieses Ergebnis auf Kosten der verhältnismäßig niedrigen Ko-
derate von
36
105
≈
0
,
34
erreicht wurde.
Zur Einschätzung der Effektivität dieser Verkettung wollen wir noch zwei Ver-
gleichsfälle betrachten (Anwendung der Gln. (9.19), (9.18) für
p
s
=
p
e
):
Es wird nur der
(15
,
9
,
7)
RS-Kode über
GF
(2
4
)
eingesetzt. Die Koderate ist
mit
15
=0
,
6
zwar deutlich höher gegenüber dem verketteten Kode, aber
dafür ist
p
R
(15)
korr
=2
,
32
·
10
−
3
wesentlich schlechter. Es sind nur
f
k
=3
Fehler oder Bündelfehler von maximal
f
k
· k
1
=12
Bit
korrigierbar.
•
•
Es wird ein
(15
,
5
,
11)
RS-Kode über
GF
(2
8
)
verwendet, der eine annähernd
gleiche Koderate von
15
≈
0
,
33
aufweist. Der Fehlerkorrekturgrad ist
f
k
=
k
2
=5
, Bündelfehler sind bis zu einer Länge von
f
k
·k
1
=40
Bit
korrigierbar.
Wir erhalten damit immerhin
p
R
(15)
korr
=5
,
77
·
10
−
4
.
