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9.2.4
Restfehlerwahrscheinlichkeit bei Faltungskodes
Eine Berechnung der Restfehlerwahrscheinlichkeit, wie im Abschn. 9.2.1 für
lineare Blockkodes definiert und explizit in Gl. (9.18) dargestellt, ist für Fal-
tungskodes nicht möglich, weil kein eindeutiger Zusammenhang zwischen der
freien Distanz
d
f
und dem Fehlerkorrekturgrad
f
k
besteht: Die tatsächliche
Korrekturfähigkeit (die mindestens so hoch wie bei vergleichbaren Blockkodes
ist) hängt nämlich wesentlich von den Fehlerpositionen innerhalb der Emp-
fangsfolge ab (s. a. S. 213).
Es ist deshalb üblich, zur Bewertung von Faltungskodes die
Dekodierfehler-
wahrscheinlichkeit
zu bestimmen, d. h. die Wahrscheinlichkeit, mit der eine
dekodierte Empfangsfolge nicht mit der gesendeten Kanalkodefolge überein-
stimmt. Diese Fehlerwahrscheinlichkeit ist natürlich gleichbedeutend mit der
Restfehlerwahrscheinlichkeit.
Die mathematische Ableitung der Dekodierfehlerwahrscheinlichkeit ist kompli-
ziert und läuft notwendigerweise auf näherungsweise Abschätzungen in Form
von oberen Schranken hinaus. Im Folgenden soll dies kurz skizziert werden.
Die Wahrscheinlichkeit
p
w
der fehlerhaften Dekodierung einer Empfangsfolge
mit dem Gewicht
w
kann mit Hilfe der komplementären Fehlerfunktion
Q
(
x
)
berechnet werden [VUC 01]:
√
2
π
exp
d
t
=1
−
Φ(
x
)
,
∞
t
2
2
Q
(
x
)=
−
(9.28)
x
wobei
Φ(
x
)
das GAUSSsche Fehlerintegral ist.
Das Integral in Gl. (9.28) kann mittels Reihenentwicklung näherungsweise be-
stimmt werden. Daraus ergibt sich für
Q
(
x
)
die obere Schranke
exp
.
1
2
x
2
2
Q
(
x
)
≤
−
(9.29)
Für den AWGN-Kanal (s. Abschn. 5.1) und einen Faltungskode mit der Kode-
rate
R
und dem Gewicht
w
der betrachteten Empfangsfolge gilt
2
Rw
E
b
N
0
x
=
.
(9.30)
Mit
p
w
=
Q
(
x
)
und der Beschränkung auf
w
=
d
f
erhalten wir aus den Gln.
(9.29) und (9.30) damit die folgende Abschätzung der Dekodier- bzw. Restfeh-
lerwahrscheinlichkeit einer Empfangsfolge:
p
R
(
n
)
korr
≤
1
2
e
−Rd
f
E
N
0
.
(9.31)
