Cryptography Reference
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ist also für
w
(
e
i
)
>f
k
gleich Eins, d. h., es sind über
f
k
hinaus keine weiteren
Fehler korrekt korrigierbar. Für die Bestimmung der Restfehlerwahrscheinlich-
keit ergibt sich daraus der folgende Zusammenhang:
f
k
p
R
(
n
)
korr
=
p
B
(
n
)
−
p
(
e
w
)
w
=1
n
w
p
s
(1
− p
s
)
f
k
n−w
.
=1
−
(9.18)
w
=0
Beispiel 9.2.2
Für obiges Fallbeispiel (
p
s
=10
−
2
,
n
=50
und
d
min
=3
) ist beim Dekodierer,
wenn notwendig, eine Fehlerkorrektur auszuführen. Wie groß ist die Restfeh-
lerwahrscheinlichkeit bei Anwendung eines Korrekturverfahrens?
Lösung:
Mit
d
min
=3
sind Einfachfehler korrigierbar, d. h.
f
k
=1
. Aus obigem Bei-
spiel sind die Wahrscheinlichkeiten
p
(
e
0
)=0
,
605
und
p
(
e
1
)=0
,
306
bereits
bekannt. Die Restfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit Anwendung von Gl.
(9.18):
p
R
(50)
korr
=1
−
0
,
605
−
0
,
306
=0
,
089
>p
R
(50)
erk
≈
2
·
10
−
4
.
Die Restfehlerwahrscheinlichkeit ist bei Anwendung der Fehlerkorrektur damit
wesentlich größer als bei Anwendung der Fehlererkennung. Die Ursache liegt
in der Falschkorrektur bei Fehlermustern mit einem Gewicht größer
f
k
.Eine
Verbesserung von
p
R
(
n
)
korr
ist nur bei Erhöhung der Redundanz, d. h. zulasten
der Koderate möglich.
Abschließend soll noch auf die Besonderheit bei der
Bewertung von RS-
Kodes
hingewiesen werden.
Da diese Kodes hauptsächlich zur Fehlerkorrektur (in der Regel Byte-Korrek-
tur) eingesetzt werden, gilt Gl. (9.18). Es ist jedoch zu beachten, dass die Kode-
wortelemente jetzt aus
k
1
Bit
(Byte-Korrektur:
k
1
=8
)bestehen
4
.
Anstelle der
Schrittfehlerwahrscheinlichkeit
p
s
muss demnach in Gl. (9.18)
k
1
p
e
=
p
B
(
k
1
)=1
−
(1
−
p
s
)
(9.19)
eingesetzt werden.
Dabei nehmen wir an, dass die Elementefehler im RS-Kode,
wie beim Binärkode, voneinander unabhängig und binomial verteilt sind.
Bei dieser Voraussetzung ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit des RS-Kodes
4
k
1
=
grad
M
(
x
)
