Bewertung von Kanalkodes - Informations-und Kodierungstheorie - page 265

Wir betrachten dazu den Fall, dass p s =10 − 2 , n =50 und d min =3 ist:
w w p s p ( e w )= w p s (1 −

n − w n − w

(1 − p s ) p s )

0 1 1 0 , 605 0 , 605

50 10 − 2 1 0 , 611 0 , 306

2 1225 10 − 4 0 , 617 0 , 076

Bei n =50 und d min =3 sind mindestens k =6 Kontrollelemente (Anwendung
der HAMMING-Schranke) erforderlich. Damit ergibt sich nach Gl. (9.17) eine
Restfehlerwahrscheinlichkeit von
p R (50) ≈ 2 − 6 (1 − 0 , 605 − 0 , 306 − 0 , 076) = 2 · 10 − 4 .

Um Fehlermuster auf Kanälen zu analysieren, sind Fehlerstrukturmessungen
durchzuführen, deren Umfang von der geforderten Genauigkeit abhängt. Das
Ergebnis kann entweder in Form von Häufigkeitsverteilungen oder als Kanal-
modell dargestellt werden. Die Häufigkeitsverteilung kann sich z. B. auf die An-
zahl der fehlerhaften Elemente in einem gestörten Block der Länge n ,d.h.auf
das Gewicht eines n -stelligen Fehlervektors, beziehen. Bei einem Kanalmodell
wird das Störverhalten des Kanals nachgebildet. Gelingt es, das Störverhalten
des Kanals mathematisch zu beschreiben, dann ist diese Beschreibung ein ma-
thematisches Modell des Kanals, mit der die Wahrscheinlichkeit für das Auftre-
ten bestimmter Fehlerstrukturen berechnet werden kann. Ein Beispiel für ein
solches Modell eines Binärkanals ist die oben beschriebene Binomialverteilung
für unabhängige Einzelfehler in einem Kanalkodewort. Ein Kanalmodell kann
aber auch ein Fehlergenerator sein, der das Störverhalten des Kanals durch
künstlich erzeugte Fehlerfolgen hardware- oder softwaremäßig simuliert. Zwi-
schen Kodierungs- und Dekodierungsgerät geschaltet oder in eine entsprechend
simulierte Umgebung eingebettet, kann ein solches Kanalmodell wertvolle Hin-
weise für die Wirksamkeit eines Kodierungssystems liefern.

Die bisherigen Betrachtungen bezogen sich ausschließlich auf die Fehlererken-
nung. Für die Fehlerkorrektur ist zu beachten, dass mehr Redundanz für
deren Realisierung aufgebracht werden muss, d. h., die Anzahl der mit Sicher-
heit erkennbaren und für die Korrektur auswertbaren Fehlermuster ist mit

f k = d min − 1
2

kleiner als bei der Fehlererkennung mit gleicher Minimaldi-
stanz. Fehlermuster mit einem Gewicht w ( e i ) >f k werden mit Ausnahme von
Fehlermustern mit der Struktur eines Kanalkodewortes ebenfalls erkannt, füh-
ren aber immer zu einer falschen Rekonstruktion der Empfangsfolge oder zu
Dekodierungsversagen. Der Reduktionsfaktor R korr ( w ) mit

Anzahl der nicht korrigierbaren Fehlermuster mit Gewicht w
Anzahl möglicher Fehlermuster mit Gewicht w

R korr ( w )=