Cryptography Reference
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Gewicht
w
(
e
i
)=1
wesentlich größer ist als der Anteil der Fehlermuster mit
w
(
e
i
)=2
usw.
Bei einem Kanalkode werden alle Fehlermuster mit dem Gewicht
w
(
e
i
)
<d
min
mit Sicherheit erkannt. Daraus schlussfolgernd sollte
d
min
entsprechend ange-
passt werden. Von den Fehlermustern mit
w
(
e
i
)
≥ d
min
bleiben nur die Feh-
lermuster unerkannt, deren Struktur einem Kanalkodewort entspricht. Unter
diesem Aspekt ist es zweckmäßig, die Restfehlerwahrscheinlichkeit
p
R
(
n
)
für
jedes Gewicht getrennt zu berechnen und Gl. (9.6) entsprechend zu modifizie-
ren:
n
p
R
(
n
)=
p
(
e
w
)
R
erk
(
w
)
,
(9.13)
w
=1
wobei der Reduktionsfaktor
R
erk
(
w
)
den Anteil der Fehlermuster, die einem
Kanalkodewort
a
(
w
)
mit dem Gewicht
w
entsprechen, an allen möglichen
w
Fehlermustern mit dem Gewicht
w
darstellt:
card
(
a
(
w
))
w
R
erk
(
w
)=
.
(9.14)
Weil es (mit Ausnahme des Nullwortes) kein Kanalkodewort mit dem Gewicht
w<d
min
gibt, ist
R
erk
(
w<d
min
)=0
.Daherist
n
p
R
(
n
)=
p
(
e
w
)
R
erk
(
w
)
.
(9.15)
w
=
d
min
Für die Annahme binomial verteilter Fehler in einem gestörten Kanalkodewort
gilt
n
p
s
(1
−
n−w
card
(
a
(
w
))
.
p
R
(
n
)=
p
s
)
(9.16)
w
=
d
min
Da die Ermittlung der Anzahl Kanalkodewörter
a
(
w
)
für jedes Gewicht
w
bei
großen Kodewortlängen recht aufwendig ist, verzichtet man i. Allg. auf die
genaue Berechnung der Restfehlerwahrscheinlichkeit nach Gl. (9.15) bzw. Gl.
(9.16). Bei Linearkodes lässt sich für
w
≥
d
min
der Reduktionsfaktor nähe-
R
erk
(
max
)
=2
−k
angeben.
Für diese Näherung reduziert sich auch die Berechnung der Anzahl Fehlermus-
ter mit dem Gewicht
w
auf solche mit dem Gewicht
w<d
min
.
Damit vereinfacht sich Gl. (9.15) zu
p
R
(
n
)
≈
2
−k
rungsweise mit
R
erk
(
w
)
≈
.
d
min
−
1
1
−
p
(
e
w
)
(9.17)
w
=0
