Cryptography Reference
In-Depth Information
Für
x>
1
Schieberegister lässt sich entsprechend ableiten:
-
Die Zahl der Eingänge ist
x
. Das Gedächtnis des Faltungskodierers wird
durch das längste Schieberegister mit
k
=max
i∈{
1
,
2
, ...,x}
k
i
bestimmt. Die
maximale Einflusslänge ist
K
=
x
(
k
+1)
.
-
Die Koderate ergibt sich mit
R
=
x
m
.
-
Der Aufwand für die Kodierung und Dekodierung wächst allerdings expo-
nentiell mit steigendem
k
und
x
.
Trotz besserer Koderate verzichtet man in bekannten praktischen Anwendun-
gen auf Faltungskodierer mit mehr als einem Eingang. Deshalb werden auch
im Weiteren die
Betrachtungen nur für einen Eingang
geführt. Eine Kode-
ratenerhöhung wird mit Hilfe der Punktierung erreicht (s. Abschn. 8.6.2).
Weiter wird mit
g
ij
∈{
0
,
1
}
die Zuordnung der Eingabebits zu den Ausga-
bebits festgelegt. Sie bilden die Koezienten einer Generatormatrix. Ein Fal-
tungskodierer mit einem Eingang definiert eine
m ×
(
k
+1)
Generatormatrix:
⎛
⎞
g
10
g
11
g
12
... g
1
k
g
20
g
21
g
22
... g
2
k
..................
g
m
0
g
m
1
g
m
2
...g
mk
⎝
⎠
G
m×
(
k
+1)
=
.
Mit Kenntnis von
G
kann zum Zeitpunkt
t
die Kodesequenz
v
(
t
)
∈{
0
,
1
}
m
berechnet werden:
⎛
⎞
⎛
⎞
u
(
t
)
u
(
t −
1)
.
u
(
t − k
)
v
1
(
t
)
v
2
(
t
)
.
v
m
(
t
)
⎝
⎠
⎝
⎠
G
m×
(
k
+1)
·
=
,
d. h., durch eine
faltungsähnliche Operation
wird den Informationsbits
Redundanz hinzugefügt:
k
v
i
(
t
)=
g
ij
· u
(
t − j
)(
i
=1
,
2
, ..., m
)
.
(8.47)
j
=0
Die Generatormatrix lässt sich auch im Zeitbereich darstellen. Für
G
=(
G
0
G
1
... G
k
)
mit
G
j
=(
g
1
j
g
2
j
... g
mj
)(
j
=0
,
1
, ..., k
)
sieht
G
(
t
)
dann wie folgt aus:
⎛
⎝
⎞
⎠
G
0
G
1
G
2
...G
k
G
0
G
1
...G
k−
1
G
k
G
0
...G
k−
2
G
k−
1
G
k
.
.
.
G
(
t
)=
.
(8.48)
.
.
.
