Cryptography Reference
In-Depth Information
Diese können wieder nur Erweiterungskörper der Ordnung
p ≤
7
aufspannen
bzw. als Modularpolynom ein Kodealphabet der Länge
n ≤
7
generieren.
Für jedes irreduzible Polynom
M
(
x
)
vom Grad
k
1
lässt sich damit auch über
das Hauptpolynom die realisierbare Kodewortlänge
n
ableiten. Es sind die
Polynomreste
x
i
mod
M
(
x
)
(
i
=
k
1
,
(
k
1
+1)
, ...
) zu berechnen und zwar solange,
bis für eine Potenz
i
der Polynomrest 1 ist. Zu
x
i
wird dann die 1 addiert und
man erhält
f
(
x
)=
x
i
+1=
x
n
+1
. (Vergleiche mit Abschn. 8.5.1.1.)
Beispiel 8.5.6
Wie groß sind die Kodewortlängen, die auf der Grundlage der Modularpoly-
nome
M
1
(
x
)=
x
4
+
x
3
+1
und
M
2
(
x
)=
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+1
erzeugt werden?
Lösung:
i
x
i
mod
M
1
(
x
)
i
x
i
mod
M
1
(
x
)
x
3
x
3
4
+1
10
+
x
x
3
x
3
+
x
2
5
+
x
+1
11
+1
x
3
+
x
2
+
x
+1
6
12
x
+1
x
2
+
x
+1
x
2
+
x
7
13
x
3
+
x
2
+
x
x
3
+
x
2
8
14
x
2
9
+1
15
1
f
(
x
)=
x
15
+1
,d.h.,
M
1
(
x
)
ist ein primitives Polynom und ermöglicht
eine Kodewortlänge von
n
=15
.
i x
i
mod
M
2
(
x
)
4
x
3
+
x
2
+
x
+1
5 1
−→ f
(
x
)=
x
5
+1
, d. h., die realisierbare Kodewortlänge beträgt nur
n
=5
.
−→
8.5.2
Kodierung und Fehlererkennung
Auf der Grundlage eines Generatorpolynoms
g
(
x
)
mit
g
(
x
)=
x
k
+
u
k−
1
x
k−
1
+
...
+
u
0
x
0
wird der Kanalkode
A ⊂{
0
,
1
}
n
vollständig beschrieben. Dazu ist es zweckmä-
ßig, die Elemente eines Kanalkodeworts
a
=(
u
n−
1
u
n−
2
... u
0
)
als Koezienten
eines Polynoms darzustellen mit
a
(
x
)=
u
n−
1
x
n−
1
+
u
n−
2
x
n−
2
+
...
+
u
0
x
0
.
Ein Kodepolynom
a
(
x
)
hat dementsprechend höchstens den Grad
(
n
−
1)
.
Da das Generatorpolynom den Grad
k
hat (abhängig von einer vorgebbaren
Leistungsfähigkeit, s. Abschn. 8.5.3, 8.5.4), ist der Grad des zu kodierenden
