Cryptography Reference
In-Depth Information
Von den
N
=2
7
möglichen 7stelligen Binärkombinationen (Vektoren aus
V
)
gehören neben den Basisvektoren die folgenden Vektoren zu
A
:
a
4
=
a
1
⊕
a
2
=(1100111)
,
a
5
=
a
1
⊕ a
3
=(1011111)
,
a
6
=
a
2
⊕ a
3
=(0111000)
,
a
7
=
a
1
⊕
a
3
=(1110101)
,
a
0
=(0000000)
.
Die übrigen
(2
7
−
2
3
) = 120
Vektoren,z.B.
(1100011)
oder
(0001101)
,
gehören zu
V
,abernichtzu
A
.
a
2
⊕
8.3.4
Darstellung von Linearkodes durch Matrizen
8.3.4.1 Generatormatrix
Ein Linearkode
A
mit
L
=2
l
Kanalkodewörtern ist durch seine
Genera-
tormatrix
G
der Dimension
l
mit
l
linear unabhängigen Kanalkodewörtern
eindeutig beschrieben.
Im Abschn. 8.3.3 wurde gezeigt, dass es durch die Darstellung eines Linear-
kodes als Vektorraum möglich ist, ein Kodealphabet
A
durch eine Menge von
l
linear unabhängigen Kanalkodewörtern dieses Alphabets, den Basisvektoren
des Vektorraums, vollständig zu beschreiben. Alle weiteren Kanalkodewörter
lassen sich durch Linearkombinationen der Basiswörter aus diesen ableiten.
Im Vergleich zur Auflistung aller Kanalkodewörter eines Kodealphabets bringt
die Betrachtungsweise eines Linearkodes als Vektorraum eine wesentliche Ver-
kürzung für die Notation der Kanalkodewörter mit sich. Noch effektiver ist die
Darstellung von Linearkodes durch Matrizen.
Für die Matrixdarstellung werden die
l
(
n
-stelligen) Basisvektoren des Vektor-
raums
A
zu einer
Erzeuger-
oder
Generatormatrix
G
zusammengefasst:
⎛
⎞
⎛
⎞
u
11
u
12
... u
1
n
u
21
u
22
... u
2
n
. .
.
.
.
.
u
l
1
u
l
2
... u
ln
g
11
g
12
... g
1
n
g
21
g
22
... g
2
n
. .
.
.
.
.
g
l
1
g
l
2
... g
ln
⎝
⎠
=
⎝
⎠
G
l×n
=
.
(8.16)
Der Zeilenraum von
G
erzeugt damit einen Linearkode
A
. Jede Zeile der Matrix
entspricht einem Kanalkodewort. Die weiteren Kanalkodewörter von
A
berech-
nen sich aus den möglichen Linearkombinationen der
l
Zeilen der Generator-
matrix. Dabei ist es gleichgültig, welche Kanalkodewörter als Basisvektoren
in die Generatormatrix eingehen, wenn nur die Forderung nach ihrer linearen
Unabhängigkeit erfüllt ist.
