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Weitere Axiome beziehen sich auf die Multiplikation modulo 2 von Vektoren
aus
V
mit Körperelementen aus
K
und sind für
K
=
GF
(2)
trivial.
Aus den Axiomen V1 und G1 folgt, dass jede Linearkombination von Vektoren
aus
V
wieder einen Vektor aus
V
ergibt. Daher genügt es, zur vollständigen
Beschreibung eines Vektorraums seine
Basisvektoren
anzugeben. Bei gegebe-
nem Körper bestimmt die Anzahl der Basisvektoren die Anzahl der Vektoren
des Vektorraums
V
. Man sagt,
n
Basisvektoren spannen einen Vektorraum der
Dimension
n
auf.
Die Basisvektoren eines
n
-dimensionalen Vektorraums, dessen Vektoren aus al-
len
2
n
möglichen Kombinationen der Körperelemente 0 und 1 aus
K
=
GF
(2)
bestehen, können offensichtlich durch die
n
Einheitsvektoren
(100
...
00)
,
(010
...
00)
,
.
(000
...
01)
dargestellt werden, aber auch durch jede beliebige Menge von
n
Basisvektoren,
die
linear unabhängig
sind.
Beispiel 8.3.2
Mögliche Basisvektoren eines Vektorraums der Dimension
n
=4
sind:
v
1
=(1000)
v
2
=(0100)
v
3
=(0010)
v
4
=(0001)
oder
v
1
=(1110)
v
2
=(1011)
v
3
=(0100)
v
4
=(0011)
oder
v
1
=(1100)
v
2
=(0110)
v
3
=(0100)
v
4
=(1101)
.
Eine Teilmenge der Vektoren des Vektorraums
V
bildet einen
Unterraum
A
,
wenn darin ebenfalls die Axiome eines Vektorraums erfüllt sind. Der Unter-
raum
A
hat die Dimension
l
,wennesinihm
l
(linear unabhängige) Basisvek-
toren gibt.
Im Zusammenhang mit der Darstellung eines Kodealphabets
A
als Vektor-
raum bedeutet dies, dass die
n
-stelligen Kanalkodewörter eine Teilmenge aller
n
-stelligen Vektoren aus dem Vektorraum
V
sind und einen Unterraum von
V
darstellen. Bestehen die Vektoren von
V
aus Binärelementen, dann gibt es
2
l
Vektoren zu
A
gehören. Alle in
A
enthaltenen
Vektoren werden durch die
l
Basisvektoren und sämtliche Linearkombinationen
aus diesen gebildet.
n
Vektoren in
V
, von denen
2
Beispiel 8.3.3
Ein Kodealphabet mit 7stelligen Kanalkodewörtern wird durch folgende Ba-
sisvektoren beschrieben:
a
1
=(1001101)
a
2
=(0101010)
a
3
=(0010010)
.
