Cryptography Reference
In-Depth Information
dratischen Abweichung des Signals entsprechend einer vorgegebenen Wahr-
scheinlichkeitsdichtefunktion
f
(
x
)
. Die Auftrittswahrscheinlichkeit des Signals
im Bereich einer Quantisierungsstufe beträgt
x
i
+
δ
i
2
p
((
x
i
−
δ
i
1
)
≤
x<
(
x
i
+
δ
i
2
)) =
f
(
x
)
d
x.
(7.2)
x
i
−
δ
i
1
Sind die Quantisierungsintervalle
δ
i
x
max
, d. h., der Wertebereich des Sig-
nals ist in eine genügende Anzahl von Stufen eingeteilt, kann die Wahrschein-
lichkeitsdichte innerhalb eines Bereiches als konstant angenommen werden:
f
(
x
)
≈
f
(
x
i
)
.
Die Wahrscheinlichkeit entsprechend Gl. (7.2) ist damit
x
i
+
δ
i
2
f
(
x
)
d
x
=
f
(
x
i
)(
δ
i
1
+
δ
i
2
)=
f
(
x
i
)
δ
i
=
p
(
x
i
)
.
(7.3)
x
i
−δ
i
1
Die mittlere quadratische Abweichung des Signalwertes in einer Stufe beträgt
x
i
+
δ
i
2
(
x − x
i
)
2
d
x
=
1
3
M
(
δ
i
)=
f
(
x
i
)
f
(
x
i
)(
δ
i
2
+
δ
i
1
)
,
x
i
−δ
i
1
p
(
x
i
)
δ
i
1
+
δ
i
2
(
δ
i
2
+
δ
i
1
)
.
Gesucht wird jetzt der Minimalwert für die quadratische Abweichung:
d
(
M
(
δ
i
))
dδ
i
1
M
(
δ
i
)=
1
3
δ
i
3
δ
i
1
−
3(
δ
i
−
δ
i
1
)
2
,
=
1
3
p
(
x
i
)
d
(
M
(
δ
i
))
dδ
i
1
=0
liefert als Ergebnis
δ
i
2
und damit wird
M
(
δ
i
)=
1
δ
i
1
=
δ
i
2
=
p
(
x
i
)
δ
i
.
(7.4)
12
Die mittlere quadratische Abweichung für das gesamte Signal ist damit
m
M
(
δ
i
)=
1
p
(
x
i
)
δ
i
.
(7.5)
12
i
=1
i
Die Bestimmung der optimalen Werte für die
δ
i
wird Gegenstand des folgenden
Abschnitts sein.
