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NURBS-Kurven
NURBS-Kurven (Nonuniforme rationale B-Splines) sind im Bereich der compu-
tergestützten Konstruktion (CAD) und Fertigung (CAM) Teil zahlreicher Industrie-
standards, weil diese Verfahren in allen gängigen CAD-Systemen zur Beschreibung
und zum Datenaustausch eingesetzt werden, beispielsweise bei:
IGES (Initial Graphics Exchange Specification),
STEP (Standard for the Exchange of Product model data) und
PHIGS (Programmer's Hierarchical Interactive Graphics System).
NURBS-Kurven sind Verallgemeinerungen von nichtrationalen B-Splines und
nichtrationalen und rationalen Bézierkurven. Der Umkehrschluss, dass NURBS-
Kurven dann auch Bézierkurven oder B-Splines sind, ist nicht zulässig. Wegen
seiner Überlegenheit wird NURBS in der Industrie mittlerweile fast ausschließlich
eingesetzt, was der Vergleich mit den anderen Methoden belegt (Tab.
5.3
).
Eine NURBS-Kurve C(u) ist definiert durch ihren Grad k, eine bestimmte Menge
Kontrollpunkte P
i
und einem Knotenvektor
{u}
. Der wesentliche Unterschied zu
den anderen Splinearten ist die Gewichtung der Kontrollpunkte mit den Gewichten
w
i
. Durch diese werden NURBS-Kurven rational (nichtrationale B-Splines sind ein
Spezialfall rationaler B-Splines;
http://de.wikipedia.org/wiki/NURBS
)
.
Eine NURBS-Kurve ist vollständig definiert über die Summe der mit rationalen
B-Spline-Basisfunktionen R
i
;
p
gewichteten Kontrollpunkte P
i
:
Die rationale B-Spline-Basisfunktion errechnet sich aus B-Spline-Basisfunktionen
N
i
;
p
der Ordnung p des NURBS und den zu den Kontrollpunkten zugehörigen Ge-
wichten w
i
zu
Die Parameter u
2
[a,b] schalten die einzelnen Segmente der Splinekurve aktiv im
Bereich der Länge r des Knotenvektors
{u}
.
Die Elemente des Knotenvektors sind Parameter, die den Einfluss der Kontroll-
punkte auf die NURBS-Kurve bestimmen. Die einzelnen Knotenwerte haben keine
Aussage für sich selbst; lediglich die Verhältnisse der Differenzen zwischen den
Knotenwerten sind von Bedeutung. Demzufolge ergeben z. B. die Knotenvektoren
(0,0,1,2,3),(0,0,2,4,6),und(1,1,2,3,4)allediegleicheKurve.DieAnzahlder
