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Abb. 5.2
Beispiele für Bézierkurven
Tab. 5 . 2
Bildungsgesetz für Bernsteinpolynome
Der
De Casteljau-Algorithmus
zeichnet eine Bézierkurve, indem er diese durch
einen Polygonzug annähert. Jeder Punkt der Bézierkurve liegt dabei in der konvexen
Hülle ihrer Kontrollpunkte. Die Interpolation zwischen den Kontrollpunkten erfolgt
mittels
Bernstein
polynomen.
Bézierkurven sind invariant unter affinen Abbildungen. Das bedeutet, dass eine
affine Abbildung der Kontrollpunkte die gleiche Kurve ergibt wie eine affine Ab-
bildung der Originalkurve. Lokale Änderungen an den Kontrollpunkten wirken sich
zwar auf die gesamte Kurve aus, sind jedoch nur lokal von Bedeutung. Bei kom-
plexen Formen wird eine größere Zahl von Kontrollpunkten benötigt. Mit jedem
weiteren Punkt erhöht sich der Polynomgrad um 1.
VB.Net enthält einige Klassen, mit denen Bézierkurven erstellt werden können,
wie z. B.
BezierSegment
,
PathGeometryPathFigure
und weitere.
Bernsteinpolynome
Bernsteinpolynome (Namensgeber ist Sergei Natanovich Bernstein) kommen aus
der Approximationstheorie und bilden eine Familie reeller Polynome mit ganz-
zahligen Koeffizienten. Sie sind mathematische Grundlage zur Beschreibung von
Bézierkurven. Bernsteinpolynome sind im Intervall t
D
[0,1] definiert, ihr Bildungs-
gesetz zeigt Tab.
5.2
mit den Bernsteinpolynomen bis zum Grad n
D
0; 1; 2; 3; 4
(s. a. Abb.
5.3
). Die Konstanten bei den einzelnen Funktionswerten bilden sich ge-
mäß dem Pascalschen Dreieck.
