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Tab. 5 . 1
Formen des Übergangs bei einer zusammengesetzten Kurve
Bedingung
Ergebnis des Übergangs
Endpunkt des einen Kurvenstücks fällt mit dem Start-
punkt des zweiten zusammen
G0-stetig
Übergang ist G0-stetig, die beiden Kurvenstücke haben
am Verbindungspunkt die gleiche Tangente
G1-stetig
Übergang ist G1-stetig, die beiden Kurvenstücke am
Verbindungspunkt haben entweder beide die Krüm-
mung Null oder gleiche Krümmung und gleiche
Schmiege-Ebene
G2-stetig
Positionsstetigkeit (C0)
gilt, wenn die Endpunkte zweier Kurven oder Flächen
zusammentreffen. Trotzdem können sie sich in einem Winkel berühren, der zu
einer scharfen Kante oder Ecke an dieser Stelle führt.
Tangentiale Stetigkeit (C1)
erfordert parallele Endvektoren von Kurven oder
Flächen und vermeidet so scharfe Kanten. Tangentiale Stetigkeit ist oftmals aus-
reichend, wenn die Beleuchtung derartiger Szenen einigermaßen gleichmäßig
ist.
Krümmungsstetigkeit (C2)
ist gegeben bei parallelen Endvektoren von gleichem
Betrag. Ein krümmungsstetiger Übergang zeigt keine optischen Störungen, so-
dass zwei verbundene Objekte als optisch perfekt und glatt wahrgenommen wer-
den. Diese Stetigkeitsstufe ist sehr nützlich, wenn die zu realisierende kontinu-
ierliche Oberfläche aus vielen bikubischen Flächenstücken besteht.
Daneben ist auch der Begriff der geometrischen Stetigkeit gegeben, der jedoch kei-
ne Funktionsparameter verwendet. Die geometrische Stetigkeit beschreibt bei einer
zusammengesetzten Kurve, wie ein Kurvenstück ins nächste übergeht (Tab.
5.1
).
Für praktische Belange sind geometrische Stetigkeiten ersten und zweiten Grads
(G0 und G1) identisch mit Positions- und tangentialer Stetigkeit (C0 und C1).
Geometrische Stetigkeit dritten Grades (G2) unterscheidet sich jedoch von Krüm-
mungsstetigkeit, da die Parametrisierung in diesem Fall ebenfalls stetig ist.
Bézierkurven
Bézierkurven sind parametrische Kurven vom Grade
n
, die durch
n
C
1
Kontroll-
punkte definiert sind. Das Polygon, das alle Kontrollpunkte miteinander verbindet,
wird als Kontrollpolygon bezeichnet. Eine Bézierkurve berührt tangential den ers-
ten und letzten Kontrollpunkt, ansonsten approximiert sie an die restlichen Kon-
trollpunkte, d. h., alle dazwischen liegenden Kontrollpunkte ziehen die Kurve zu
sich hin, ohne sie tatsächlich zu berühren (von Ausnahmefällen abgesehen). Die-
ser „Sog“-Effekt wird als proportional zum Abstand des Kontrollpunktes zur Kurve
angenommen. Abbildung
5.2
zeigt drei Bézierkurven unterschiedlichen Grades
n
.
[„Geometrische Modellierung“/Wiki]
