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rechnung der Teildreiecke herstellen:
Entwickelt man die Determinanten jeweils nach der ersten Zeile, so ergeben sich
die Teilflächen und damit auch die natürlichen Koordinaten zu
•
1
D Œ.
x
2
y
3
x
3
y
2
/ C
x
.
y
2
y
3
/ C
y
.
x
3
x
2
/=2
F
•
2
D Œ.
x
3
y
1
x
1
y
3
/ C
x
.
y
3
y
1
/ C
y
.
x
1
x
3
/=2
F
•
3
D Œ.
x
1
y
2
x
2
y
1
/ C
x
.
y
1
y
2
/ C
y
.
x
2
x
1
/=2
F
2F ist hierin die doppelte Dreiecksfläche, wie wir sie schon zuvor verwendet haben.
Aus zwei beliebigen dieser drei Gleichungen unter Beachtung von
†•
k
D 1
lassen
sich rückwärts wieder die x-y-Koordinaten bestimmen zu
x
D
x
1
•
1
C
x
2
•
2
C
x
3
•
3
y
D
y
1
•
1
C
y
2
•
2
C
y
3
•
3
Für einen beliebigen Punkt P
.
x
;
y
/
innerhalb des Dreiecks erhält man dessen Nor-
malenvektor, indem man die drei Normalenvektoren der Dreiecksknoten im Ver-
hältnis der natürlichen Koordinaten gewichtet
f
n
P
gD•
1
f
n
1
gC•
2
f
n
2
gC•
3
f
n
3
g
Für Schattierungs- und Beleuchtungseffekte ermöglicht diese Methode, den Ein-
druck einer gekrümmten Fläche näherungsweise auch mit einem ebenen Dreieck
darzustellen.
Die Aufgabe „Schnittpunkt innerhalb Dreieck“ in Abschn.
11.3.6
kann vorteil-
haft auch mit den natürlichen Dreieckskoordinaten bearbeitet werden. Man proji-
ziert wieder sowohl Dreieck als auch Schnittpunkt auf eine der Koordinatenebenen,
die am ehesten parallel zum Dreieck liegt, und ermittelt die Gesamtfläche
F
des
Dreiecks und die Flächen
F
i
der Teildreiecke.
Je nachdem wie die Flächen ermittelt werden, sind zwei Möglichkeiten gegeben:
Werden die Flächen über die Seitenlängen ermittelt, dann sind alle (Teil)-Flächen
positiv. Der Schnittpunkt S liegt nur dann im Dreieck, wenn gilt
†
F
k
D
F oder
damit gleichbedeutend
†•
k
D 1
.
Durchläuft man die Ermittlung der Teilflächen zyklisch und berechnet die Flä-
chen nach einer der obigen Formeln, z. B.
2
F
1
D .
x
2
y
3
x
3
y
2
/ C
x
.
y
2
y
3
/ C
y
.
x
3
x
2
/;
