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{n}
liegt und die Ebene schneidet. Diese Aufgabe ist im Abschn.
11.3.6
detailliert
beschrieben.
Gegeben ist also die Gerade
f
s
gDf
P
gC
t
f
n
g
mit der zu
{n}
gehörigen Ebene
durch einen ihrer Eckknoten, z. B. P
3
,als
n
x
.
x
P
3x
/ C
n
y
.
y
P
3y
/ C
n
z
.
z
P
3z
/ D 0
Für den Schnittpunkt mit der Ebene werden die Koordinaten der Geraden
{s}
eingesetzt:
n
x
.
P
x
C
t
n
x
P
3x
/ C
n
y
.
P
y
C
t
n
y
P
3y
/ C
n
z
.
P
z
C
t
n
z
P
3z
/ D 0
.
n
x
C
n
y
C
n
z
/ D 1
Auflösen nach t mit
:
t
D
n
x
.
P
x
P
3x
/
n
y
.
P
y
P
3y
/
n
z
.
P
z
P
3z
/
D.
P
P
3
/f
n
g
.
als Skalarprodukt
/
Wenn die Vorzeichen der Vektorkomponenten von
{s}
und
{n}
paarweise identisch
sind, zeigt
{n}
wie
{s}
nach außen, andernfalls müssen die Vorzeichen von
{n}
nach
f
n
g
geändert werden. Als Schalter hierfür wird der Längenfaktor t für das Vielfa-
che von
{n}
verwendet. Ergibt sich t negativ, gilt die Gegenrichtung von
{n}
,damit
ein Schnitt mit der Ebene zustande kommt.
Zu Abb.
9.5
gehört das Beispiel einer senkrechten Zentralprojektion aus Ab-
schn.
8.3.1
. Der Quader wurde vom Global- ins View-/Projektionssystem transfor-
miert. Die Ergebnismatrix
[P
ZP
]
enthält folglich XYZ
V
-Koordinaten, ebenfalls der
Innenpunkt:
Mit den Koordinaten des Innenpunktes berechnen sich die Normalen
{n}
zu folgen-
denWerten(Tab.
9.2
).
Nach dieser Vorarbeit lassen sich die Rückflächen leicht bestimmen. Im Pro-
jektionssystem wird auf die X
V
Y
V
-Ebene projiziert. Die Z
V
-Achse zeigt in die
Projektionsebene hinein und ist unsere Blick-/Projektionsrichtung mit den Kom-
ponenten Z
V
D .0;0;1/
. Die Sichtbarkeit einer Oberfläche hängt nun davon ab, ob
ihr Normalenvektor eine Komponente in Projektionsrichtung hat. Darüber gibt das
Skalarprodukt
Z
V
/ f
n
g
aus Projektionsrichtung und Normalenvektor Auskunft.
Bei dieser einfachen Konstellation ist die Komponente n
z
der maßgebliche Schalter:
.
n
z
<0
Normale zeigt zum Beobachter
Oberfläche zugewandt, sichtbar
n
z
D 0
Normale parallel zur Projektionsebene Blick auf Kante
n
z
>0
Normale zeigt in Blickrichtung
Oberfläche abgewandt
;
unsichtbar
:
